Пусть даны 2 непустых множества $X$, $Y$. Соответствие $f$, которое каждому элементу $x \in X$ сопоставляет один и только один элемент $y \in Y$, называется **функцией** и обозначается $y=f(x),\ x \in X$ или $f:\ X \rightarrow Y$. Множество $X$ называется **областью определения функции** $f$ и обозначается $D(f)$. Множество $Y$ называется **множеством значений функции** $f$ и обозначается $E(f)$. Если элементами множеств $X$ и $Y$ являются действительные числа, то функцию $f$ называют **числовой функцией**. $x$ - аргумент или независимая переменная. $y$ - функция или зависимая переменная. **Частное значение функции** $f(x)$ при $x=a$ записывают $f(a)$. Примеры: 1) Найти частное значение функции $y(x)=\sqrt{2x^2+6x-4}$ для $y(1)$ и $y(-1)$. $y(1)=\sqrt{2∗1^2+6∗1-4}=\sqrt{4}=2$ $y(-1)=\sqrt{2∗(-1)^2+6∗(-1)-4}=\sqrt{-8}$ - не существует 2) Найти область определения функции $\frac{1}{x^2-5x+6}$ $x^2-5x+6≠0$ $D=25-4∗6=1$ $x_1=\frac{5+1}{2}=3$ $x_2=\frac{5-1}{2}=2$ $D(y): x \in (-\infty;2)\cup(2;3)\cup(3;+\infty)$ 3) Найти область определения функции $y=\sqrt{x^2+4x+4}$ $x^2+4x+4\geq0$ $(x+2)^2\geq0$ - всегда $D(y): x \in R$ или $x \in (-\infty;+\infty)$ 4) Найти область определения функции $\frac{x+1}{\sqrt{3x-9}}$ $3x-9>0$ $x>3$ $D(y): x \in (3; +\infty)$ **Графиком функции** $y=f(x)$ называется множество всех точек плоскости $xOy$, для каждой из которых $x$ является значением аргумента, а $y$ - соответствующим значением функции. Чтобы задать функцию, необходимо указать правило, позволяющее по известному значению $x$ найти соответствующее значение $y$. ## Способы задания функции 1. **Аналитический** - функция задается одним или несколькими уравнениями. Является наиболее совершенным 2. **Графический** - задается график функции. Значения функции $y=f(x)$, соответствующие тем или иным значениям аргумента $x$, непосредственно находятся по графику. Нагляден, но неточен 3. **Табличный** - функция задается таблицей ряда значений аргументов и соответствующих значений функции (тригонометрические и логарифмические функции, эксперименты) ## Свойства функции #### Четность Функция $y=f(x)$, определенная на множестве $X$, называется **четной**, если для любого $x \in X$ выполняется условие $y(-x)=y(x)$. Функция $y=f(x)$, определенная на множестве $X$, называется **нечетной**, если для любого $x \in X$ выполняется условие $y(-x)=-y(x)$. График четной функции симметричен относительно оси $Oy$, график нечетной - относительно начала координат. Если функция не является ни четной, ни нечетной - это **функция общего вида**. Примеры: 1) Определить четность функции $y=2x^3-3x$ $y(-x)=2(-x)^3-3(-x)=-2x^3+3x=-(2x^3-3x)=-y(x)$, значит функция нечетная 2) Определить четность функции $y=\frac{x}{x^2+5}$ $y(-x)=\frac{-x}{(-x)^2+5}=y=-\frac{x}{x^2+5}=y(-x)$, значит функция нечетная 3) Определить четность функции $y=\frac{x^4+2}{3-x^2}$ $y(x)=\frac{(-x)^4+2}{3-(-x)^2} = \frac{x^4+2}{3-x^2} = y(x)$, значит функция четная #### Монотонность Функция $y=f(x)$, определенная на промежутке $X$, называется **возрастающей** на данном промежутке, если для любых значений $x_1, x_2 \in X$, таких, что $x_1f(x_2)$. Возрастающие и убывающие функции называются **монотонными**, а промежутки, где функция монотонно, называются **интервалами монотонности**. #### Ограниченность Функцию $y=f(x)$, определенную на множестве $X$, называют **ограниченной** на этом множестве, если существует такое число $M>0$, что для всех $x \in X$ выполняется неравенство $|f(x)|\leq M$. #### Периодичность Функция $y=f(x)$, определенная на множестве $X$, называется **периодической**, если существует такое число $T>0$, что при каждом $x \in X$ значение $(x+T) \in X$ и $f(x+T) \in f(x)$. При этом число $T$ называют **периодом функции**. #### Обратные функции Пусть задана функция $y=f(x)$ с областью определения $D(f)$ и множеством значений $E(f)$. Если каждому значению $y \in E(f)$ соответствует единственное значение $x \in D(f)$, то определена функция $x=φ(y)$ с областью определения $E(f)$ и множеством значений $D(f)$, которая называется **обратной функцией** к функции $y=f(x)$ и записывается в виде $x=φ(y)=f^{-1}(y)$. Функции $y=f(x)$ и $x=φ(y)$ называются **взаимно обратными**, а их графики симметричны относительно биссектрисы I и III координатных углов. Любая монотонная функция имеет обратную функцию. ## Основные функции и их графики 1) Показательная функция $y=a^x$ ($a>0$, $a\neq1$) - $a>1$ ![Возрастающая показательная функция](../Pictures/01_01.%20Возрастающая%20показательная%20функция.png) - $00$, $a\neq1$) - $a>1$ ![Возрастающая логарифмическая функция](../Pictures/01_03.%20Возрастающая%20логарифмическая%20функция.png) - $00$, $n$ - четное ![Степенная функция, парабола](../Pictures/01_06.%20Степенная%20функция,%20парабола.png) - $n>1$, $n$ - нечетное ![Степенная функция, кубическая парабола](../Pictures/01_07.%20Степенная%20функция,%20кубическая%20парабола.png) - $n<0$, $n$ - нечетное ![Степенная функция, нечетная гипербола](../Pictures/01_08.%20Степенная%20функция,%20нечетная%20гипербола.png) - $n<0$, $n$ - четное ![Степенная функция, четная гипербола](../Pictures/01_09.%20Степенная%20функция,%20четная%20гипербола.png) - $n$ - дробь, $n$ - четное ![Степенная функция, ветвь параболы](../Pictures/01_10.%20Степенная%20функция,%20ветвь%20параболы.png) - $n$ - дробь, $n$ - нечетное ![Степенная функция, ветвь кубической параболы](../Pictures/01_11.%20Степенная%20функция,%20ветвь%20кубической%20параболы.png) 4) Тригонометрические функции - $y=\sin{x}$ ![Синусоида](../Pictures/01_12.%20Синусоида.png) - $y=\cos{x}$ ![Косинусоида](../Pictures/01_13.%20Косинусоида.png) - $y=tg\ x$ ![Тангенсоида](../Pictures/01_14.%20Тангенсоида.png) - $y=ctg\ x$ ![Котангенсоида](../Pictures/01_15.%20Котангенсоида.png) 5) Обратные тригонометрические функции - $arcsin\ x$ ![Арксинусоида](../Pictures/01_16.%20Арксинусоида.png) - $arccos\ x$ ![Арккосинусоида](../Pictures/01_17.%20Арккосинусоида.png) - $arctg\ x$ ![Аркангенсоида](../Pictures/01_18.%20Арктангенсоида.png) - $arcctg\ x$ ![Арккоангенсоида](../Pictures/01_19.%20Арккотангенсоида.png)