Рассмотрим функцию $y=f(x)$, определенную на некотором промежутке $x$. Точка $x \in X$ и число $\Delta x$ - такое, что точка $x+\Delta x$ тоже принадлежит $X$. Функция $y=f(x)$ непрерывна в некоторой окрестности точки $x$.  
**Производной** функции $y=f(x)$ по аргументу $x$ называется конечный предел отношения приращения функции $\Delta f=f(x+\Delta x)-f(x)$ к приращению аргумента $\Delta x$, при $\Delta x \to 0$: $f'(x)=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$  
Обозначение: $y'(x)$, $f'(x)$, $\frac{dy}{dx}$, $\frac{df}{dx}$  
Геометрический смысл производной: производная функции $y=f(x)$ в точке $x$ равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в точке $x$.  
Физический смысл производной: производная есть скорость изменения функции в точке $x$.  
Процесс нахождения производной функции называется **дифференцированием**, а сама функция - **дифференцируемой в точке $x$**. 
## Правила дифференцирования
1. $(C∗u)'=C∗u'$, где $C=const$
2. $(u\pm V)'= u'\pm V'$
3. $(u∗V)'=u'∗V+u∗V'$
4. $(\frac{u}{V})'=\frac{u'∗V-u∗V'}{V^2}$
## Таблица производных
1. $C'=0$, где $C=const$
2. $x'=1$
3. $(x^2)'=2x$
4. $(x^n)'=nx^{n-1}$
5. $(\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}$
6. $(\frac{1}{x})'=-\frac{1}{x^2}$
7. $(\cos{x})'=-\sin{x}$
8. $(\sin{x})'=\cos{x}$
9. $(tg\ x)'=\frac{1}{\cos{^2x}}$
10. $(ctg\ x)'=-\frac{1}{\sin{^2x}}$
11. $(a^x)'=a^x\ln{a}$
12. $(e^x)'=e^x$
13. $(\ln{x})'=\frac{1}{x}$
14. $(\log{_ax})'=\frac{1}{x\ln{a}}$
15. $(\arcsin{x})'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
16. $(\arccos{x})'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
17. $(arctg\ x)'=\frac{1}{1+x^2}$
18. $(arcctg\ x)'=-\frac{1}{1+x^2}$
  
Примеры: вычислить производные функций
1) $y=3x-2$  
	$y'=3$
2) $y=3x^2-2x+7$  
	$y'=6x-2$
3) $y=2x^4-3\sqrt{x}+\frac{4}{x}+6=2x-3x^\frac{1}{2}+4x^{-1}+6$  
	$y'=8x^3-\frac{3}{2}x^{-\frac{1}{2}}-4x^{-2}$
4) $y=3\cos{x}+4^x-7arctg\ x-1.5$  
	$y'=-3\sin{x}+4^x\ln{4}-\frac{7}{1+x^2}$
5) $y=\frac{3}{x^9}-11\sin{x}+6\ln{x}-4e^x$  
	$y'=-27x^{-10}-11\cos{x}+\frac{6}{x}-4e^x$
## Производная сложной функции
Если функция $y=f(x)$ дифференцируема в точке $x$, а функция $y=g(f(x))$ определена на множестве значений функции $y=f(x)$, то сложная функция $y=g(f(x))$ имеет производную в точке $x$ и вычисляется по формуле: $y'=g'(f(x)∗f'(x))$  
Пример: вычислить производную сложной функции $y=\sqrt{3-2x+4x^2}$  
$y'=\frac{1}{2\sqrt{3-2x+4x^2}}∗(3-2x+4x^2)'=\frac{8x-2}{2\sqrt{3-2x+4x^2}}=\frac{2(4x-1)}{2\sqrt{3-2x+4x^2}}=\frac{4x-1}{\sqrt{3-2x+4x^2}}$
## Логарифмическая производная
При нахождении производных от показательно-степенной функции $y=u(x)^{V(x)}$, допускающих логарифмирование, используют логарифмическую производную $(\ln{y})'=\frac{y'}{y}$  
$(u^V)'=u^V∗V'∗\ln{u}+u^{V-1}∗u'∗V$
Пример: найти логарифмическую производную функции $y=\sqrt{x}^{\sin{x}}$  
Прологарифмируем левую и правую части:  
$\ln{y}=\ln{\sqrt{x}}^{\sin{x}}$  
$(\ln{y}')=(\sin{x}\ln{\sqrt{x}})'$  
$\frac{1}{y}∗y'=(\sin{x})'∗\ln{\sqrt{x}}+\sin{x}(\ln{\sqrt{x}})'$  
$\frac{1}{y}∗y'=\cos{x}∗\ln{\sqrt{x}}+\sin{x}∗\frac{1}{\sqrt{x}}∗\frac{1}{2\sqrt{x}}$  
$\frac{1}{y}∗y'=\cos{x}∗\ln{\sqrt{x}}+\frac{\sin{x}}{2x}$  
$y'=y(\cos{x}∗\ln{\sqrt{x}}+\frac{\sin{x}}{2x})$  
$y'=\sqrt{x}^{\sin{x}}(\cos{x}∗\ln{\sqrt{x}}+\frac{\sin{x}}{2x})$  
## Производная неявной функции
Пусть функция $y=f(x)$ задана неявно уравнением $F(x,y)=0$. Тогда $y'(x)$ находим дифференцируя уравнение, считая $y$ функцией от $x$.  
Пример: найти производную неявной функции $3x^2+2yy'=\cos{(x-2y)}∗(x-2y)'$  
$3x^2+2yy'=\cos{(x-2y)}∗(1-2y')$  
$2yy'+2y'\cos{(x-2y)}=\cos{(x-2y)}-3x^2$  
$y'(2y+2\cos{(x-2y)})=\cos{(x-2y)}-3x^2$  
$y'=\frac{\cos{x}-2y-3x^2}{2y+2\cos{(x-2y)}}$
## Производная функции, заданной параметрически
Пусть функция $y=f(x)$ определена и задана параметрически уравнениями:  
```math
\begin{cases}
    x = x(t) \\
    y = y(t)
\end{cases}
```
Если $x(t)$ и $y(t)$ имеют производные в точке $t_0$, причем $x'(t_0) \neq 0$, то справедлива формула $y(x_0)=\frac{y_t(t_0)}{x_t(t_0)}$ или $`y'_x=\frac{y'_t}{x'_t}`$  
$`y''_{xx}=\frac{(y'_x)'_t}{x'_t}`$  
$`y''_{xxx}=\frac{(y'_{xx})'_t}{x'_t}`$  
Пример: найти производную функции, заданной параметрически:  
```math
\begin{cases}
    x = t^3 + t - 4 \\
    y = \sin{t}
\end{cases}
```
$\frac{x'}{t}=(t^3+t-4)'=3t^2+1$  
$\frac{y'}{t}=(\sin{t})'=\cos{t}$  
$y'_x=\frac{y'_t}{x'_t}=\frac{\cos{t}}{3t^2+1}$
## Дифференциал функции
Пусть функция $y=f(x)$ определена в некоторой окрестности точки $x_0$. Если существует такое число $A$, что приращение функции $\Delta y$ в точке $x_0$, соответствующее приращению аргумента $\Delta x$ имеет вид $\Delta y=A\Delta x +\alpha(\Delta x)\Delta x$, где $\lim\limits_{\Delta \alpha \to 0} \alpha(\Delta x)=0$, **дифференциалом функции** $y=f(x)$ в точке $x_0$ называется главная часть приращения $\Delta y$ и обозначается $dy$: $dy=f'(x)dx$  
Пример: найти дифференциал функции $y=e^{2x}+4x-3$  
$y'=2e^{2x}+4$  
$dy=(2e^{2x}+4)dx$
## Правило Лопиталя
Пусть функции $f(x)$ и $g(x)$ дифференцируемы в некоторой окрестности точки $x_0$, кроме, может быть, ее самой, причем $g'(x) \neq 0$. Тогда справедлива формула $\lim\limits_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)}=[\frac{0}{0}]=\lim\limits_{x \to x_0} \frac{(f(x))'}{(g(x))'}$ или $\lim\limits_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)}=[\frac{\infty}{\infty}]=\lim\limits_{x \to x_0} \frac{(f(x))'}{(g(x))'}$  
Примеры:
1) $\lim\limits_{x \to 1} \frac{x-1}{x\ln{x}}=[\frac{0}{0}]=\lim\limits_{x \to 1} \frac{1}{\ln{x}+x\frac{1}{x}}=\frac{1}{\ln{x}+1}=\frac{1}{1}=1$
2) $\lim\limits_{x \to 0} \frac{1-\cos{6x}}{2x^2}=[\frac{0}{0}]=\lim\limits_{x \to 0} \frac{6\sin{6x}}{4x}=[\frac{0}{0}]=\lim\limits_{x \to 0} \frac{36\cos{6x}}{4}=9$