## Промежутки монотонности функции Если функция $y=f(x)$ дифференцируема на промежутке $X$ и для любого $x \in X$ выполняется неравенство $f'(x)>0$, то функция **возрастает** на промежутке $X$; если $f'(x)<0$, то функция **убывает** на промежутке $X$. Промежутки, на которых функция только убывает или только возрастает, называются **промежутками монотонности**. #### Алгоритм нахождения промежутков монотонности 1. Найти $y'$ 2. Решить уравнение $y'=0$. Найти стационарные и критические точки 3. Нанести точки из п. 2 на числовую прямую и определить знак производной на каждом промежутке 4. Сделать вывод Пример: найти промежутки монотонности функции $y=60+45x-3x^2-x^3$ $y'=45-6x-3x^2$ $45-6x-3x^2=0$ $x^2+12-15=0$ $D=4-4(-15)=64$ $x_1=\frac{-2+8}{2}=3$ $x_2=\frac{-2+-8}{2}=-5$ ![Промежутки монотонности](../Pictures/04_01.%20Промежутки%20монотонности.png) **Вывод:** функция возрастает на $(-5;3)$. Функция убывает на $(-\infty;-5) \cup (3; +\infty)$ ## Точки экстремума функции Точка $x_0$ называется **точкой максимума** функции, если в некоторой окрестности точки $x_0$ выполняется неравенство $f(x)f(x_0)$ Максимумы и минимумы функция называются **экстремумами функций**. #### Алгоритм нахождения точек экстремума функции 1. Найти $y'$ 2. Решить уравнение $y'=0$. Найти стационарные и критические точки 3. Нанести точки из п. 2 на числовую прямую и определить знак производной на каждом промежутке 4. Если при переходе через $x_0$ производная меняет знак с $-$ на $+$, то $x_0$ - **минимум**. Если при переходе через $x_0$ производная меняет знак с $+$ на $-$, то $x_0$ - **максимум**. 5. Найти значение функции в точках минимума и максимума Пример: найти точки экстремума функции $y=x^4-4x^3-8x^2+13$ $y'=4x^3-12x^2-16x$ $y'=0$ $x(4x^2-12x-16)=0$ $x=0$ $x^2-3x-4=0$ $D=9-4(-4)=25$ $x_1=\frac{3+5}{2}=4$ $x_2=\frac{3-5}{2}=-1$ ![Точки экстремума](../Pictures/04_02.%20Точки%20экстремума.png) $y(-1)=10$ $y(0)=13$ $y(4)=-115$ **Вывод:** $(-1;10)$ - точка минимума $(0;13)$ - точка максимума $(4;-115)$ - точка минимума ## Выпуклость и вогнутость функции График функции называется **выпуклым** на промежутке $X$, если график функции расположен **ниже** любой касательной на промежутке $X$. График функции называется **вогнутым** на промежутке $X$, если график функции расположен **выше** любой касательной на промежутке $X$. Пусть функция $y=f(x)$ определена на промежутке $X$ и имеет первую и вторую производную. Тогда, если для всех $x \in X$ выполняется неравенство $f''(x)>0$, то график функции имеет **вогнутость** на данном промежутке $X$. Пусть функция $y=f(x)$ определена на промежутке $X$ и имеет первую и вторую производную. Тогда, если для всех $x \in X$ выполняется неравенство $f''(x)<0$, то график функции имеет **выпуклость** на данном промежутке $X$. Точка $x_0$ графика функции называется **точкой перегиба**, если при переходе через нее график функции меняет направление выпуклости. #### Алгоритм нахождения промежутков выпуклости, вогнутости, точек перегиба 1. Найти $f'(x)$, $f''(x)$ 2. Решить уравнение $y''=0$. Найти стационарные и критические точки 3. Нанести точки из п. 2 на числовую прямую и на каждом интервале определить знак второй производной, направление выпуклости 4. $x=0$ - точка перегиба, если произошла смена выпуклости-вогнутости 5. Найти значение функции в точке перегиба и сделать вывод Пример: $y=x^4-2x^2+1$ $y'=4x^3-4x$ $y''=12x^2-4$ $y''=0$ $12x^2-4=0$ $3x^2-1=0$ $x^2=\frac{1}{3}$ $x=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}$ ![Промежутки выпуклости, вогнутости](../Pictures/04_03.%20Промежутки%20выпуклости,%20вогнутости.png) $y(-\frac{\sqrt{3}}{3})=\frac{1}{9}-\frac{2}{3}+1=\frac{4}{9}$ $y(\frac{\sqrt{3}}{3})=\frac{4}{9}$ **Вывод:** $(-\frac{\sqrt{3}}{3};\frac{4}{9})$ и $(\frac{\sqrt{3}}{3};\frac{4}{9})$ - точки перегиба. График функции вогнутый на $(-\infty;-\frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (\frac{\sqrt{3}}{3};+\infty)$, выпуклый на $(-\frac{\sqrt{3}}{3};\frac{\sqrt{3}}{3})$ ## Асимптоты графика функции Прямая линия $m$ называется **асимптотой** графика функции $y=f(x)$, если расстояние $d$ от точки $M$, лежащей на этом графике, до прямой $m$ стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки по графику функции от начала координат в бесконечности. Существуют 3 вида асимптот: 1) Прямая $x=x_0$ называется **вертикальной асимптотой**, если хотя бы один из пределов $\lim\limits_{x \to x_0^-}f(x)$ или $\lim\limits_{x \to x_0^+}f(x)$ равен бесконечности ![Вертикальная асимптота](../Pictures/04_04.%20Вертикальная%20асимтота.png) 2) Прямая $y=b$ называется **горизонтальной асимптотой** графика функции $y=f(x)$, если выполняется условие $\lim\limits_{x \to \pm\infty}f(x)=b$, $b \neq\pm\infty$ ![Горизонтальная асимптота](../Pictures/04_05.%20Горизонтальная%20асимптота.png) 3) **Наклонная асимптота** - это прямая, заданная уравнением $y=kx+b$, где $k=\lim\limits_{x \to \pm\infty}\frac{y(x)}{x}$ ($k \neq 0$, $k \neq\pm\infty$), $k=\lim\limits_{x \to \pm\infty}(y(x)-kx)$ ($b \neq\pm\infty$) ![Наклонная асимптота](../Pictures/04_06.%20Наклонная%20асимптота.png) Пример: найти асимптоты графика функции $y=\frac{x^2+1}{x-2}$ Вертикальные асимптоты: $x=2$ - ? $\lim\limits_{x \to 2^-}\frac{x^2+1}{x-2}=\frac{5}{-0}=-\infty$ $x=2$ - вертикальная асимптота Горизонтальные асимптоты: $\lim\limits_{x \to \pm\infty}\frac{x^2+1}{x-2}=[\frac{0}{0}]\frac{:x^2}{:x^2}=\frac{1}{0}=\frac{1}{0}=\pm\infty$, значит горизонтальных асимптот нет Наклонные асимптоты: $y=kx+b$ $\lim\limits_{x \to \pm\infty}\frac{x^2+1}{(x-2)x}=\lim\limits_{x \to \pm\infty}\frac{x^2+1}{x^2-2x}=[\frac{\infty}{\infty}]\frac{:x^2}{:x^2}=\frac{1}{1}=1$ $\lim\limits_{x \to \pm\infty}\frac{x^2+1}{x-2}=\lim\limits_{x \to \pm\infty}\frac{x^2+1-x^2+2x}{x-2}=\lim\limits_{x \to \pm\infty}\frac{2x+1}{x-2} = [\frac{\infty}{\infty}]\frac{:x}{:x}=\frac{2}{1}=2$ $y=x+2$ - наклонная асимптота ## План исследования функции с помощью производной 1. Найти $D(y)$ 2. Четность/нечетность 3. Точки пересечения графика с осью координат 4. Промежутки монотонности, точки экстремума 5. Выпуклость/вогнутость, точки перегиба 6. Асимптоты графика функции 7. Дополнительные точки 8. График функции