Пусть в замкнутой области $D$ плоскости $xOy$ задана непрерывная функция $z=f(x,y)$. Разобьём область $D$ на $n$ элементарных областей (которые не имеют общих точек) $D_i$ ($i=1,2,3,...,n$), площадь каждой из которых обозначим $\Delta S_i$, а диаметры (наибольшее расстояние между точками области $D_i$) - $d_i$. Пусть $\lambda$ - максимальный из диаметров. В каждой области $D_i$ выберем произвольную точку $M_i(x_i;y_i)$ и вычислим значения функции в каждой точке. Составим интегральную сумму $`\sigma=\sum\limits^{n}_{i=1}f(x_{i};y_{i})\cdot\Delta S_{i}`$  
Если существует конечный предел интегральной суммы $σ$ при $λ→0$ и он не зависит от способа разбиения области $D$ на части и выбора точек $M_i$, то предел называется **двойным интегралом** от функции $f(x;y)$ по области $D$ и обозначается как $\iint\limits_{D}f(x;y)dxdy$, где:
- $D$ - область интегрирования
- $x$, $y$ - переменные интегрирования
- $f(x;y)$ - подынтегральная функция
- $dxdy$ - элемент площади
## Свойства двойного интеграла
1) $\iint\limits_D{kf(x,y)dxdy}=k\iint\limits_D{f(x,y)dxdy}$ ($k$ - $const$)
2) $\iint\limits_D({f(x,y)}\pm{g(x,y)})dxdy=\iint\limits_D{f(x,y)dxdy}\pm\iint\limits_D{g(x,y)dxdy}$
3) Если $D=D_1\cup D_2$: $\iint\limits_Df(x,y)dxdy=\iint\limits_{D_1}f(x,y)dxdy+\iint\limits_{D_2}f(x,y)dxdy$
## Вычисление двойного интеграла по прямоугольной области
Пусть функция $z=f(x,y)$ определена и непрерывна в прямоугольной области $D=\{(x;y)|a≤x≤b,c≤y≤d\}$, тогда справедливы формулы:  
$`\iint\limits_{D}f(x,y)dxdy=\int\limits^{b}_{a}dx\int\limits^{d}_{c}f(x,y)dy`$  
$`\iint\limits_{D}f(x,y)dxdy=\int\limits^{d}_{c}dy\int\limits^{b}_{a}f(x,y)dx`$  
Интегралы, стоящие в правых частях формул, называются **повторными**.  
Примеры: вычислить двойные интегралы
1) $\iint\limits_D6xydxdy$, $D: -4\leq x \leq0, -2\leq y\leq1$  
	Сведем двойной интеграл к повторному:  
	$\iint\limits_D6xydxdy=\int\limits_{-4}^0dx\int\limits_{-2}^16xydy$  
	$\int\limits_{-2}^16xydy=6x\int\limits_{-2}^1ydy=6x\frac{y^2}{2}|^1_{-2}=3xy^2|^1_{-2}=3x(1^2-(-2)^2)=3x(1-4)=-9x$  
	$\int\limits_{-4}^0dx\int\limits_{-2}^16xydy=-9\frac{x^2}{2}|^0_{-4}=9\frac{(-4)^2}{2}=72$  
2) $\int\limits_{-1}^4\int\limits_{-3}^09xydxdy=\int\limits_{-1}^4dy\int\limits_{-3}^09xydx$  
	$\int\limits_{-3}^09xydx=9y\int\limits_{-3}^0xdx=9y\frac{x^2}{2}|^0_{-3}=-9y\frac{9}{2}=\frac{81y}{2}$  
	$\int\limits_{-1}^4dy\int\limits_{-3}^09xydx=\int\limits_{-1}^4-\frac{81y}{2}dy=-\frac{81}{2}\int\limits_{-1}^4ydy=-\frac{81}{2}\cdot\frac{y^2}{2}|^4_{-1}=-\frac{81y^2}{5}|^4_{-1}=-\frac{81\cdot16}{4}+\frac{81}{4}=-324+\frac{81}{4}=\frac{-1296+81}{4}=-\frac{1215}{4}$  
## Вычисление двойного интеграла по произвольной области
Пусть функция $z$ определена и непрерывна в области $D=\{(x;y)|a≤x≤b,\varphi_1(x)≤y≤\varphi_2(x)\}$, тогда справедлива формула:
$$\iint\limits_Df(x,y)dxdy=\int\limits_a^bdx\int\limits_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(x,y)dy$$  
![Криволинейная трапеция](../Pictures/08_01.%20Криволинейная%20трапеция.png)  
Пусть функция $z$ определена и непрерывна в области $D=\{(x;y)|c≤y≤d,\psi_1(y)≤x≤\psi_2(y)\}$, тогда справедлива формула:
$$\iint\limits_Df(x,y)dxdy=\int\limits_c^ddy\int\limits_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)}f(x,y)dx$$  
![Криволинейная трапеция](../Pictures/08_02.%20Криволинейная%20трапеция.png)  
Примеры:  
1) Вычислить двойной интеграл по области $D$, ограниченной линиями: $x=-1$, $x=2$, $y=x^2$, $y=x+2$  
	$\iint\limits_D(4x+3y)dxdy$  
	![График для примера 1](../Pictures/08_03.%20График%20для%20примера%201.png)  
	$D: -1\leq x\leq2,\ x^2\leq y\leq x+2$  
	$\iint\limits_D(4x+3y)dxdy=\int\limits_{-1}^2dx\int\limits_{x^2}^{x+2}(4x+3y)dy$  
	$`\int\limits_{x^2}^{x+2}(4x+3y)dy=(4xy+3\frac{y^2}{2}|^{x+2}_{x^2})=(4x(x+2)+\frac{3}{2}(x+2)^2)-(4xx^2+\frac{3}{2}(x^2)^2)=4x^2+8x+\frac{3}{2}x^2+6x+6-4x^3-\frac{3}{2}x^4=-\frac{3}{2}x^4-4x^3+5\frac{1}{2}x^2+14x+6`$  
	$`\int\limits_{-1}^2dx\int\limits_{x^2}^{x+2}(4x+3y)dy=\int\limits_{-1}^2(-\frac{3}{2}x^4-4x^3+5\frac{1}{2}x^2+14+6)dx=(-\frac{3}{2}\cdot\frac{x^5}{5}-\frac{4x^4}{4}+\frac{11}{2}\cdot\frac{x^3}{3}+14\frac{x^2}{2}+6x)|^2_{-1}=(-\frac{3}{10}\cdot x^5-x^4+\frac{11}{6}x^3+7x^2+6x)|^2_{-1}=(-\frac{3}{10}\cdot32-16+\frac{44}{3}+28+12)-(\frac{3}{10}-1-\frac{11}{6}+7-6)=-\frac{99}{10}+24+\frac{99}{6}=-9.9+24+16.5=30.6`$
2) Вычислить двойной интеграл:  
	$\int\limits_1^3\int\limits_x^4(5xy+7x)dydx=\int\limits_1^3dx\int\limits_x^4(5xy+7x)dy$  
	![График для примера 2](../Pictures/08_04.%20График%20для%20примера%202.png)  
	$\int\limits_x^4(5xy+7x)dy=\frac{5x}{2}y^2+7xy|^4_x=(frac{5x\cdot16}{2}+7x\cdot4)-(\frac{5x}{2}x^2+7x^2)=40x+28x-\frac{5}{2}x^3-7x^2=-\frac{5}{2}x^3-7x^2+68x$  
	$\int\limits_1^3dx\int\limits_x^4(5xy+7x)dy=(-\frac{5}{8}x^4-\frac{7}{3}x^3+34x^2)|^3_1=-\frac{5}{8}\cdot81-\frac{7}{3}\cdot27+306+\frac{5}{8}+\frac{7}{3}-34=159+\frac{7}{3}=161\frac{1}{3}$