Если область интегрирования есть некоторая кривая, то определённый интеграл называется **криволинейным**.  
## Криволинейные интегралы I рода
Пусть на плоскости $xOy$ задана непрерывная кривая $AB$ длины $l$. Рассмотрим непрерывную функцию $z=f(x,y)$, определённую в точках дуги $AB$. Разобьём дугу $AB$ точками $M_0=A, M_1, M_2, ..., M_n=B$ на $n$ произвольных дуг $M_{i−1}M_i$ ($i=1,2,...,n$) с длинами $\Delta l_i$. На каждой дуге $M_{i-1}M_i$ выберем произвольную точку с координатами $(x_i;y_i)$.  
![Дуга криволинейного интеграла I рода](../Pictures/09_01.%20Дуга%20криволинейного%20интеграла%20I%20рода.png)  
Составим интегральные суммы: $`\sigma=\sum\limits\limits^{n}_{i=1}f(x_{i},y_{i})\cdot{\Delta{l_i}}`$.  
Пусть $λ=max\{Δl_i\}$ - наибольшая из дуг деления.  
Если существует конечный предел интегральной суммы $σ$ при $λ→0$, то он называется **криволинейным интегралом I рода** от функции $f(x,y)$ по дуге $AB$ и обозначается $\int\limits_{AB}f(x,y)dl$
#### Свойства криволинейного интеграла I рода
1) Криволинейный интеграл I рода не зависит от направления пути интегрирования: $\int\limits_{AB}f(x,y)dl=\int\limits_{BA}f(x,y)dl$
2) $\int\limits_{AB}{kf(x,y)dl}=k\int\limits_{AB}{f(x,y)dl}$ ($k$ - $const$)
3) $\int\limits_{AB}({f(x,y)}\pm{g(x,y)})dl=\int\limits_{AB}{f(x,y)dl}\pm\int\limits_{AB}{g(x,y)dl}$
4) Если $AB=AC\cup CB$: $\int\limits_{AB}f(x,y)dl=\int\limits_{AC}f(x,y)dl+\int\limits_{CB}f(x,y)dl$
### Вычисление криволинейных интегралов I рода
#### Параметрическое представление кривой интегрирования  
Если кривая задана параметрическими уравнениями  
```math
\begin{cases}
    x=x(t) \\
    y=y(t) \\
    t \in [\alpha;\beta]
\end{cases}
```
где $x(t)$ и $y(t)$ - непрерывные дифференцируемые функции параметра $t$, причем точке $A$ соответствует $t=\alpha$, а точке $B$ - значение $t=\beta$, тогда $`\int\limits_{AB}f(x,y)dl=\int\limits^{\beta}_{\alpha}f(x(t),y(t))\cdot{\sqrt{(x'_{t})^{2}+(y'_{t})^{2}}}dt`$  
Пример: найти криволинейный интеграл I рода: $\int\limits_L(x^2+y^2)dl$, где
```math
\begin{cases}
    x=\cos{t} \\
    y=\sin{t} \\
    0 < t < \frac{\pi}{2}
\end{cases}
```
$x'_t=(\cos{t})'=-\sin{t}$  
$y'_t=(\sin{t})'=\cos{t}$  
$\int\limits_L(x^2+y^2)dl=\int\limits_0^\frac{\pi}{2}(\cos^2{t}+\sin^2{t})\sqrt{(-\sin{t})^2+(\cos{t})^2dt}=\int\limits_0^\frac{\pi}{2}dt=t|^\frac{\pi}{2}_0=\frac{\pi}{2}$  
#### Явное представление кривой интегрирования  
Если кривая $AB$ задана уравнением $y=\varphi(x)$, $x∈[a;b]$, тогда $`\int\limits_{AB}f(x, y)dl=\int\limits^{b}_{a}f(x,\varphi(x))\cdot{\sqrt{1+(y'_{x})^{2}}dx}`$  
Пример: найти криволинейный интеграл I рода: $\int\limits_Lydl$, где $L$ - $y=x^3$, заключенная между точками $A(0;0)$ и $B(2;8)$  
$y'_x=(x^3)'=3x^2$  
```math
\int\limits_Lydl = \int\limits_0^2x^3\sqrt{1+(3x^2)^2}dx = \int\limits_0^2x^3\sqrt{1+9x^4}dx =
\left|
	\begin{matrix}
	t = 1+9x^4 \\
	dt = (1+9x^4)'dx=36x^3dx \\
	x^3dx = \frac{dt}{36}
	\end{matrix} 
\right|
= \int\limits_1^{145}\sqrt{t}\frac{dt}{36}=frac{t^\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}}*\frac{1}{36}|_1^{145}=\frac{1}{54}\sqrt{t^3}|_1^{145}=32.31
```
## Криволинейные интегралы II рода
Пусть на плоскости $xOy$ задана непрерывная кривая $AB$ длины $l$ и функция $P(x;y)$, определённая в каждой точке кривой. Разобьём кривую $AB$ точками $M_0=A,M_1,M_2,...,M_n=B$ в направлении от точки $A$ к точке $B$ на $n$ произвольных дуг $M_{i−1}M_i$ с длинами $\Delta l_i$ ($i=1,2,...,n$). Выберем на каждой дуге $M_{i−1}M_i$ ($i=1,2,...,n$) точку с координатами $(x_i;y_i)$ и составим интегральную сумму: $`\sigma=\sum\limits\limits^{n}_{i=1}P(x_{i};y_{i})\cdot{\Delta{x_i}}`$, где $\Delta x_i=x_i-x_{i−1}$ - проекция дуги $M_{i−1}M_i$ ($i=1,2,...,n$) на ось $Ox$  
![Дуга криволинейного интеграла II рода](../Pictures/09_02.%20Дуга%20криволинейного%20интеграла%20II%20рода.png)  
Пусть $λ=max\{Δl_i\}$ - наибольшая из длин дуг деления  
Если существует конечный предел интегральной суммы $σ$ при $λ→0$, то он называется криволинейным интегралом по координате $x$ от функции $P(x,y)$ по длине кривой $AB$ и обозначается $\int\limits_{AB}P(x,y)dx$. Аналогично определяется криволинейный интеграл от функции $Q(x,y)$ по координате $y$: $\int\limits_{AB}Q(x,y)dy$.  
Криволинейный интеграл II рода общего вида $\int\limits_{AB}P(x,y)dx+Q(x,y)dy$ определяется равенством: $$\int\limits_{AB}P(x,y)dx+Q(x,y)dy=\int\limits_{AB}P(x,y)dx+\int\limits_{AB}Q(x,y)dy$$
#### Свойства криволинейного интеграла II рода
1) Криволинейный интеграл II рода зависит от направления пути интегрирования: $\int\limits_{AB}P(x,y)dx+Q(x,y)dy=-\int\limits_{BA}P(x,y)dx+Q(x,y)dy$
2) Если $AB=AC\cup CB$: $\int\limits_{AB}=\int\limits_{AC}+\int\limits_{CB}$
### Вычисление криволинейных интегралов II рода
#### Параметрическое представление кривой интегрирования
Пусть кривая $AB$ задана параметрическими уравнениями:  
```math
\begin{cases}
    x=x(t) \\
    y=y(t) \\
    t \in [\alpha;\beta]
\end{cases}
```
где $x(t)$ и $y(t)$ - непрерывные дифференцируемые функции параметра $t$, причем точке $A$ соответствует $t=\alpha$, точке $B$ - значение $t=\beta$, тогда $`\int\limits_{AB}P(x,y)dx+Q(x,y)dy=\int\limits^{\beta}_{\alpha}P(x(t),y(t))\cdot{x'_{t}}dt+Q(x(t),y(t))\cdot{y'_{t}dt}`$  
Пример: найти криволинейный интеграл II рода: $\int\limits_{AB}(x+2y)dx+xydy$ вдоль кривой $AB$, заданные параметрически:
```math
\begin{cases}
    x=1+2t \\
    y=2-4t \\
    0\leq t \leq1
\end{cases}
```
в направлении увеличения параметра $t$. $\alpha=0$, $\beta=1$  
$x'_t=(1+2t)'=2$  
$y'_t=(2-4t)'=-4$  
$`\int\limits_{AB}(x+2y)dx+xydy=\int\limits_0^11+2t+2(2-4t)2dt+(1+2t)(2-4t)(-4dt)=\int\limits_0^1(2+4t+8-16t-8+16t-16t+32t^2)dt=\int\limits_0^1(2-12t+32t)dt=(2t-6t^2+\frac{32}{3}t^3)|^1_0=2-6+\frac{32}{3}=-4+10\frac{2}{3}=6\frac{2}{3}`$
#### Явное представление кривой интегрирования
Пусть кривая $AB$ задана уравнением $y=\varphi(x)$, $x∈[a,b]$, тогда $`\int\limits_{AB}P(x,y)dx+Q(x,y)dy=\int\limits_a^b(P(x,\varphi(x))+Q(x,\varphi(x))\cdot\varphi'(x))dx`$  
Пример: найти криволинейный интеграл II рода: $\int\limits_{AB}(x+2y)dx+xydy$ вдоль кривой $AB$ задана уравнениями $y=\sqrt{x}$ в направлении от точки $A(0;0)$ до точки $B(1;1)$. $a=0$, $b=1$  
$y'=(\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}}$  
$\int\limits_{AB}(x+2y)dx+xydy=\int\limits_0^1(x+2\sqrt{x}+x\sqrt{x}\frac{1}{2\sqrt{x}})dx=\int\limits_0^1(\frac{3}{2}x+2\sqrt{x})dx=(\frac{3}{4}x^2+\frac{4}{3}\sqrt{x^3})|^1_0=\frac{3}{4}+\frac{4}{3}=2\frac{1}{12}$