Пусть дана бесконечная последовательность чисел $`a_1,a_2,...,a_n`$  Выражение вида $a_1+a_2+...+a_n+...=\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ называется **числовым рядом** ($a_n$ - общий член ряда, $n$ - его номер). Ряд вида $\sum\limits_{n=1}^\infty aq^n$ называется **рядом геометрической прогрессии** (**геометрическим рядом**). Ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^\alpha}$, состоящий из чисел, обратных натуральным числам, называется **обобщенным гармоническим рядом**. Примеры: выписать первые 5 членов ряда 1) $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{2}{n+1}$ $n=1$: $\frac{2}{1+1}=1$ $n=2$: $\frac{2}{2+1}=\frac{2}{3}$ $n=3$: $\frac{2}{3+1}=\frac{1}{2}$ $n=4$: $\frac{2}{4+1}=\frac{2}{5}$ $n=5$: $\frac{2}{5+1}=\frac{1}{3}$ 2) $\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{k^2+4}$ $k=1$: $\frac{(-1)^1}{1+4}=-\frac{1}{5}$ $k=2$: $\frac{(-1)^2}{4+4}=\frac{1}{8}$ $k=3$: $\frac{(-1)^3}{9+4}=-\frac{1}{13}$ $k=4$: $\frac{(-1)^4}{16+4}=\frac{1}{20}$ $k=5$: $\frac{(-1)^5}{25+4}=-\frac{1}{29}$ Обозначим: - $S_1=a_1$ - $S_2=a_1+a_2$ - $S_3=a_1+a_2+a_3$ - ... - $S_n=a_1+a_2+a_3+...+a_n+...$ Суммы $S_1, S_2, ..., S_n, ...$ конечного числа членов ряда $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ называются **частичными суммами ряда**. ## Сходимость рядов Если существует конечный предел $S=\lim\limits_{n\to\infty}S_n$, то ряд называется **сходящимся**, а число $S$ - **суммой этого ряда**. Если предел не существует или равен бесконечности, то числовой ряд **расходится**. **Необходимое условие сходимости ряда (НУСР):** если числовой ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ сходится, то его общий член $a_n$ стремится к нулю, т. е. $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0$. Если $\lim\limits_{n\to\infty}a_n\neq0$, то необходимое условие сходимости ряда не выполняется, ряд расходится. Пример: проверить, выполняется ли НУСР 1) $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{4n+3}{2-n^2}$ $a_n=\frac{4n+3}{2-n^2}$ $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{4n+3}{2-n^2}=[\frac{\infty}{\infty}]^{:n^2}=\frac{0}{-1}=0$, следовательно, НУСР выполняется 2) $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n!}{3n^4+1}$ $a_n=\frac{n!}{3n^4+1}$ $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n!}{3n^4+1}=[\frac{\infty}{\infty}]=\infty$, т. к. $n!\to\infty$ быстрее, чем $3n^4+1$, следовательно, НУСР не выполняется, ряд расходится ### Признаки сходимости рядов #### Геометрический ряд ```math \sum\limits_{n=1}^\infty q^n \begin{cases} |q|<1 \text{ - ряд сходится} \\ |q|>1 \text{ - ряд расходится} \\ |q|=1 \text{ - требуются дополнительные исследования} \end{cases} ``` Примеры: определить, сходятся ли геометрические ряды 1) $\sum\limits_{n=1}^\infty 2\cdot4^n$ $\sum\limits_{n=1}^\infty 2\cdot4^n=2\sum\limits_{n=1}^\infty 4^n$ $a_n=4^n$ $q=4$ $|q|>1$, следовательно, ряд расходится 2) $\sum\limits_{n=1}^\infty 3(\frac{1}{4})^n$ $\sum\limits_{n=1}^\infty 3(\frac{1}{4})^n=3\sum\limits_{n=1}^\infty (\frac{1}{4})^n$ $a_n=(\frac{1}{4})^n$ $q=\frac{1}{4}$ $|q|<1$, следовательно, ряд сходится #### Обобщенный гармонический ряд ```math \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^\alpha} \begin{cases} \alpha>1 \text{ - ряд сходится} \\ \alpha\leq1 \text{ - ряд расходится} \end{cases} ``` Пример: определить, сходятся ли обобщенные гармонические ряды 1) $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{3}{n^9}$ $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{3}{n^9}=3\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^9}$ $a_n=\frac{1}{n^9}$ $\alpha=9$ $\alpha>1$ следовательно, ряд сходится 1) $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{4}{\sqrt[5]n^2}$ $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{4}{\sqrt[5]n^2}=4\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^\frac{2}{5}}$ $a_n=\frac{1}{n^\frac{2}{5}}$ $\alpha=\frac{2}{5}$ $\alpha<1$, следовательно, ряд расходится #### Предельный признак сравнения Если для рядов с неотрицательными членами $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n=a_1+a_2+...+a_n+...$ и $\sum\limits_{n=1}^\infty b_n=b_1+b_2+...+b_n+...$ выполняется условие $\lim\limits_{n\to\infty}=k$, где $k\neq0$ и $k\neq\infty$, то эти ряды сходятся или расходятся одновременно. Пример: исследовать сходимость ряда с помощью предельного признака сравнения $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n^2+4n}{2n^3-7}$ $a_n=\frac{n^2+4n}{2n^3-7}$ Сравним с рядом $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{3-2}}=\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$ - ОГР $\alpha=1$, следовательно, ряд расходится $k=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^3+4n^2}{2n^3-7}=[\frac{\infty}{\infty}]^{:n^3}=\frac{1}{2}\neq0,\neq\infty$, следовательно, оба ряда расходятся #### Признак Даламбера Если члены положительного ряда $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ таковы, что существует предел $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=D$, то: - при $D<1$ ряд сходится - при $D>1$ ряд расходится - при $D=1$ требуются дополнительные исследования Пример: с помощью признака Даламбера исследовать сходимость ряда $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{3^n}{2n+1}$ $a_n=\frac{3^n}{2n+1}$ $a_{n+1}=\frac{3^{n+1}}{2(n+1)+1}=\frac{3\cdot3^n}{2n+3}$ $D=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{3\cdot3^n(2n+1)}{(2n+3)3^n}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{6n+3}{2n+3}=[\frac{\infty}{\infty}]^n=3>1$, следовательно, ряд расходится #### Признак Коши Если члены положительного ряда $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ таковы, что существует предел $\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=K$, то: - при $K<1$ ряд сходится - при $K>1$ ряд расходится - при $K=1$ требуются дополнительные исследования Пример: исследовать на сходимость ряд, используя признак Коши $\sum\limits_{n=1}^\infty (\frac{2n}{4n^2-1})^n$ $a_n=(\frac{2n}{4n^2-1})^n$ $K=\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{(\frac{2n}{4n^2-1})^n}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{2n}{4n^2-1}=[\frac{\infty}{\infty}]^{:n^2}=\frac{0}{4}=0<1$, следовательно, ряд сходится