## Знакочередующиеся ряды
**Знакочередующимся рядом** называется выражение вида $a_1-a_2+a_3-a_4+...+(-1)^na_n+...$, где $a_n>0$, $n=1,2,...$  
**Признак Лейбница** - знакочередующийся ряд $`\sum\limits^{\infty}_{n=1}(-1)^{n}a_{n}`$ сходится, если выполнены 2 условия:
1) Последовательность, состоящая из модулей элементов ряда, не возрастает, т. е. $|a_1|\geq|a_2|\geq...\geq|a_n|\geq...$
2) Модуль $a_n$ стремится к нулю, т. е. $\lim\limits_{n\to\infty}|a_n|=0$
  
Если хотя бы одно из условий не выполняется - ряд расходится.  
Замечание: если 1 из элементов знакочередующегося ряда не удовлетворяет условию 1, то будем считать, что условие все равно выполняется.  
Рассмотрим знакочередующийся ряд $`\sum\limits^{\infty}_{n=1}(-1)^{n}a_{n}`$ и ряд, состоящий из модулей данного ряда $`\sum\limits^{\infty}_{n=1}|a_{n}|`$  
Если ряд из модулей сходится, то и сам знакочередующийся ряд сходится.  
Знакочередующийся ряд называется **абсолютно сходящимся**, если он сам сходится, и ряд из модулей его членов тоже сходится.  
Знакочередующийся ряд называется **условно сходящимся**, если он сам сходится, а ряд из модулей расходится.  
Пример: исследовать на сходимость знакочередующийся ряд. Если сходится - то абсолютно или условно  
$\sum\limits^{\infty}_{n=1}(-1)^{n+1}\frac{1}{n^2}=1-\frac{1}{4}+\frac{1}{9}-\frac{1}{16}+\frac{1}{25}+...$  
1) $1>0.25>0.11>0.06>0.04>...$ - условие выполняется
2) $\lim\limits_{n\to\infty}|a_n|=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{1}{\infty}=0$ - условие выполняется
  
Следовательно, по признаку Лейбница знакочередующийся ряд сходится.  
Составим ряд из модулей $`\sum\limits^{\infty}_{n=1}\frac{1}{n^2}`$ - ОГР  
$`\sum\limits^{\infty}_{n=1}(-1)^{n+1}\frac{1}{n^2}`$ - сходится абсолютно
## Степенные ряды
**Степенным рядом** по степеням разности $x-a$ называется функциональный ряд вида $c_0+c_1(x-a)+c_2(x-a)^2+...+c_n(x-a)^n+...=\sum\limits_{n=0}^\infty c_n(x-a)^n$, где $c_0, c_1, c_2, ..., c_n$ - коэффициенты сходимости степенного ряда.  
**Радиус сходимости** степенного ряда - это действительное число, вычисляемое по формуле $R=\lim\limits_{n\to\infty}|\frac{c_n}{c_{n+1}}|$  
Интервал $(a-R; a+R)$ называется **интервалом сходимости** степенного ряда. Если $R=0$, то степенно ряд сходится только в точке $x=a$; если $R=\infty$, то ряд сходится на интервале $(-\infty;+\infty)$.  
**Область сходимости** степенного ряда получается из интервала сходимости при подстановке точек $x_1=a-R$ и $x_2=a+R$ в степенной ряд.  
Пример: найти $R$, интервал и область сходимости степенного ряда  
$\sum\limits_{n+1}^\infty\frac{(x-2)^n}{n^2}=\sum\limits_{n+1}^\infty\frac{1}{n^2}(x-2)^n$  
$c_n=\frac{1}{n^2}$  
$c_{n+1}=\frac{1}{(n+1)^2}=\frac{1}{n^2+2n+1}$  
Найдем $R$:  
$R=\lim\limits_{n\to\infty}|\frac{\frac{1}{n^2}}{\frac{1}{(n+1)^2}}|=\lim\limits_{n\to\infty}=\frac{(n+1)^2}{n^2}=\lim\limits_{n\to\infty}(\frac{n+1}{n})^2=\lim\limits_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^2=(1+\frac{1}{\infty})^2=1^2=1$  
Интервал сходимости $(a-R;a+R)$:  
$(x-a)^n=(x-2)^n$  
$x-a=x-2$  
$a=2$  
$(a-R;a+R)=(2-1;2+1)=(1;3)$  
Область сходимости:  
$x=1$  
$\sum\limits_{n+1}^\infty\frac{(1-2)^n}{n^2}=\sum\limits_{n+1}^\infty\frac{(-1)^n}{n^2}$ - знакочередующийся ряд, применяем правило Лейбница:
1) $1>0.25>0.11>0.063>0.04>...$ - условие выполняется
2) $\lim\limits_{n\to\infty}|a_n|=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{1}{\infty^2}=0$ - условие выполняется
  
Знакочередующийся ряд сходится и точка $x=1$ входит в область сходимости  
$x=3$  
$\sum\limits_{n+1}^\infty\frac{(3-2)^n}{n^2}=\sum\limits_{n+1}^\infty\frac{1}{n^2}$ - ОГР  
$a=2>1$, следовательно, ряд сходится, т. е. точка $x=3$ включается в область сходимости  
$[1;3]$ - область сходимости
#### Ряд Тейлора
Рассмотрим функцию, разложенную в степенной ряд в интервале $(a-R; a+R)$:  
$c_0+c_1(x-a)+c_2(x-a)^2+...+c_n(x-a)^n+...$ Коэффициенты этого ряда имеют следующий вид: $c_0=f(a)$, $c_1=\frac{f'(a)}{1!}, c_2=\frac{f''(a)}{2!}, ..., c_n=\frac{f^{(n)}}{n!}, ...$  
Числа $c_n=\frac{f^{(n)}}{n!}$, $n=1,2,...$ называются **коэффициентами Тейлора** функции $f(x)$ в точке $a$.  
Ряд вида $f(x)=f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+...+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+...$ называется **рядом Тейлора** функции $f(x)$ в точке $a$.  
**Ряд Маклорена** (частный случай ряда Тейлора при $a=0$): $f(x)=f(0)+\frac{f'(0)}{1!}x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+...+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+...$
#### Разложение элементарных функций в степенные ряды
| $f(x)$                 | Степенные ряды                                                                                                                                                                               |
| ---------------------- | -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- |
| $e^x$                  | $1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...+\frac{x^n}{n!}+...$, $x\in R$                                                                                                                         |
| $\sin{x}$              | $x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...+(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$, $x\in R$                                                                                                |
| $\cos{x}$              | $x-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+...+(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}$, $x\in R$                                                                                                    |
| $(1+x)^\alpha$         | $1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+...+\frac{\alpha(\alpha-1)\cdot...\cdot(\alpha-n+1)}{n!}x^n+...$, $a\in R$, $x\in (-1;1)$                                                         |
| $\frac{1}{1+x}$        | $1+x^2-x^3+x^4-x^5+...+(-1)^nx^n+...$, $x\in(-1;1)$                                                                                                                                          |
| $\sqrt{1+x}$           | $1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{2^2\cdot2!}x^2+\frac{1\cdot3}{2^3\cdot3!}x^3-\frac{1\cdot3\cdot5}{2^4\cdot4!}+...+(-1)^n\frac{1\cdot3\cdot5\cdot...\cdot(2n-3)}{2^n\cdot n!}x^n+...$, $x\in (-1;1)$ |
| $\frac{1}{\sqrt{1+x}}$ | $1-\frac{1}{2^1\cdot1!}x^1+\frac{1\cdot3}{2^2\cdot2!}x^2-\frac{1\cdot3\cdot5}{2^3\cdot3!}x^3+...+(-1)^n\frac{1\cdot3\cdot5\cdot...\cdot(2n-1)}{2^n\cdot n!}x^n$, $x\in(-1;1)$                |
| $\ln{(1+x)}$           | $x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+...+(-1)^n\frac{x^{n+1}}{n+1}+...$, $x\in(-1;1]$                                                                                                |
| $arctg\ x$             | $x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+...+(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}+...$, $x\in[-1;1]$                                                                                              |
  
Пример: разложить функции в степенные ряды
1) $f(x)=e^{5x}$  
	Заменим $x$ на $5x$ в функции $e^x$  
	$f(x)=e^{5x}=1+5x+\frac{25x^2}{2}+\frac{125x^3}{6}+...+\frac{(5x)^n}{n!}+...=\sum\limits_{n=1}^\infty{\frac{(5x)^n}{n!}}$  
2) $f(x)=x^2\sin{x^3}$  
	Разложим функцию $\sin{x}$ в степенной ряд:
	$\sin{x}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...+(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$  
	Заменим $x$ на $x^3$:  
	$\sin{x^3}=x^3-\frac{x^9}{6}+\frac{x^{15}}{120}-\frac{x^{21}}{7!}+...+(-1)^n\frac{x^{6n+3}}{(2n+1)!}$  
	Умножим на $x^2$:  
	$x^2\sin{x^3}=x^5-\frac{x^{11}}{6}+\frac{x^{17}}{120}-\frac{x^{23}}{7!}+...+(-1)^n\frac{x^{12n+6}}{(2n+1)!}$  
  
Пример: разложить многочлен в степенной ряд по степеням $(x-4)$  
$f(x)=x^3+2x^2-4x+7$  
$a=4$  
Найдем значения многочлена и его производных в точке $a=4$  
$f(4)=4^3+2\cdot4^2-4\cdot4+7=87$  
$f(x)=3x^2+4x-4$  
$f'(4)=3\cdot4^2+4\cdot4-4=60$  
$f''(x)=6x+4$  
$f''(4)=6\cdot4+4=28$  
$f'''(x)=6$  
$f'''(4)=6$  
$f^{(4)}(x)=0$  
Начиная с 4, все производные равны нулю, т. е. все коэффициенты в разложении, начиная с 4, равны нулю.  
$f(x)=f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3+...=87+\frac{60}{1}(x-4)+\frac{28}{2}(x-a)^2+\frac{6}{6}(x-a)^3+...=87+60(x-4)+14(x-4)^2+(x-4)^3+...$