**Дифференциальным уравнением (ДУ)** называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию, её производную (или дифференциал аргумента) и дифференциал функции. ДУ называется **обыкновенным**, если искомая функция зависит только от одной переменной. **Порядком ДУ** называется наивысший порядок производной, входящей в уравнение. **Решением ДУ** называется такая дифференцируемая функция $`y=\varphi(x)`$, которая при подстановке в ДУ обращает его в верное тождество. ## Дифференциальные уравнения I порядка Если ДУ содержит производную или дифференциал функции не выше I порядка, то ДУ называется **уравнением I порядка**. Обозначение: $F(x,y,y')$ или $y'=f(x;y)$ **Общим решением ДУ (ОРДУ)** I порядка $y'=f(x;y)$ называется функция $y=\varphi(x,C)$, обладающая свойствами: 1) Она является решением ДУ при любых значениях $C$ 2) Для любого начального условия $(x_0;y_0)$ существует единственное значение $C=C_0$, при котором решение $y=\varphi(x,C_0)$ удовлетворяет заданному начальному условию Всякое решение $y=\varphi(x,C_0)$, получающееся из ОРДУ, называется **частным решением ДУ (ЧРДУ)** I порядка. Задача нахождения ЧРДУ $y'=f(x;y)$, удовлетворяющая начальному условию $y(x_0)=y_0$, называется **задачей Коши**. Пример: проверить, является ли функция $y=3x^4-2x+C$ решением ДУ $y'-12x^3+2=0$ Найдем $y'$: $y'=12x^3-2$ Подставляем $y'$ в ДУ: $12x^3-2-12x^3+2=0$ $0=0$ Значит, функция $y$ является решением ДУ Пример: функция $y=3x^4-2x+C$ является ОРДУ $y'=12x^3-2$. Найти ЧРДУ, если $y(1)=-2$ $-2=3-2+C$ $C=-3$ Подставим $C=-3$: $y=3x^4-2x-3$ - ЧРДУ ### Виды ДУ I порядка #### ДУ I порядка с разделенными переменными **ДУ I порядка с разделенными переменными** - это ДУ вида $g(y)dy=f(x)dx$ Для решения таких ДУ интегрируем отдельно левую и правую части. Пример: найти ОРДУ $ydy=x^2dx$ $\int ydy=\int x^2dx$ $\frac{y^2}{2}=\frac{x^3}{3}+C$ - ОРДУ Пример: найти ЧРДУ $(y^2+1)dy=\cos{x}dx$, $y(0)=1$ $\int(y^2+1)dy=\int\cos{x}dx$ $\frac{y^3}{3}+y=\sin{x}+C$ - ОРДУ $x=0$, $y=1$ $\frac{1}{3}+1=0+C$ $C=\frac{4}{3}$ $\frac{y^3}{3}+y=\sin{x}+\frac{4}{3}$ - ЧРДУ #### ДУ I порядка с разделяющимися переменными **ДУ I порядка с разделяющимися переменными** называется уравнение вида $g(y)F(x)dy=f(x)G(y)dx$ Для решения таких ДУ обе части уравнения делим на $F(x)\cdot G(y)$ и приводим к предыдущему виду Пример: найти ОРДУ $x^2dy+ydx=0$ $x^2dy=-ydx\ \ |:x^2y$ $\frac{dy}{y}=-\frac{dx}{x^2}$ $\int\frac{dy}{y}=\int-\frac{dx}{x^2}$ $\ln{|y|}=-\frac{x^{-1}}{-1}+C$ $\ln{|y|}=\frac{1}{x}+C$ - ОРДУ #### Линейные ДУ I порядка **Линейным ДУ I порядка** называется ДУ вида $y'+p(x)y=q(x)$, где $p(x)$ и $q(x)$ - функции, зависящие от $x$ или числа. Алгоритм решения линейного ДУ: 1) Привести уравнение к виду $y'+p(x)y=q(x)$ 2) Сделать замену $y=uV$, $y'=u'V+uV'$. Подставить эти выражения в ДУ 3) В левой части сгруппировать второе и третье слагаемые, вынести за скобки $u$ 4) Составить систему ДУ ```math \begin{cases} V'+p(x)V=0 \\ u'V=q(x) \end{cases} ``` Из первого ДУ найти $V$, подставить во второе и выразить $u$ 5) Подставить $u$ и $V$ в выражение $y=uV$ Пример: найти ОРДУ $y'=\frac{3y}{x}=x$ $p(x)=-\frac{3}{x}$ $q(x)=x$ Пусть $y=uV$, тогда $y'=u'V+uV'$: $u'V+uV'-\frac{3uV}{x}=x$ $u'V+u(V'-\frac{3V}{x})=x$ ```math \begin{cases} V'-\frac{3V}{x}=0 \\ u'V=x \end{cases} ``` $V'-\frac{3V}{x}=0$ $V'=\frac{3V}{x}$ $\frac{dV}{dx}=\frac{3V}{x}\ \ |\cdot\frac{dx}{V}$ $\frac{dV}{dx}\cdot\frac{dx}{V}=\frac{3V}{x}\cdot\frac{dx}{V}$ $\frac{dV}{V}=\frac{3dx}{x}$ $\int\frac{dV}{V}=3\int\frac{dx}{x}$ $\ln{|V|}=3\ln(|x|)$ $V=3x$ $u'V=x$ $u'x^3=x\ \ |:x^3$ $u'=\frac{1}{x^2}$ $u=\int\frac{1}{x^2}dx=\int x^{-2}dx=\frac{x^{-1}}{-1}+C=-\frac{1}{x}+C$ $y=uV=x^3(-\frac{1}{x}+C)$ - ОРДУ #### Однородные ДУ I порядка Функция $f(x,y)$ называется **однородной функцией измерения $m$** если при любом $k$ имеет место тождество $f(kx,ky)=k^mf(x,y)$ ДУ I порядка вида $P(x,y)dy+Q(x,y)dy=0$ называется **однородным**, если $P(x,y)$ и $Q(x,y)$ - однородные функции одинакового измерения. Однородное ДУ может быть приведено к виду $y'=f(\frac{y}{x})$. Для решения таких ДУ вводим новую переменную $t=\frac{y}{x}$ Пример: найти ОРДУ $yxy'=y^2+2x^2\ \ |:yx$ $y'=\frac{y}{x}+\frac{2x}{y}$ $t=\frac{y}{x}$ $y'=t+\frac{2}{t}$ $y'=t'x+t$ $t'x+t=t+\frac{2}{t}$ $t'x=\frac{2}{t}$ $t'$ заменим на $\frac{dt}{dx}$ $x\frac{dt}{dx}=\frac{2}{t} \ \ |\cdot\frac{tdx}{x}$ $x\frac{dt}{dx}\cdot\frac{tdx}{x}=\frac{2}{t}\cdot\frac{tdx}{x}$ $tdt=\frac{2dx}{x}$ $\int tdt=\int\frac{2dx}{x}$ $\frac{t^2}{2}=2\ln{|x|}+C$ - ОРДУ ## Дифференциальные уравнения II порядка Если ДУ содержит производную или дифференциал функции не выше II порядка, то оно называется **ДУ II порядка** и обозначается $F(x,y,y',y'')=0$ или $y''=f(x,y,y')$ **ОРДУ II порядка** называется функция вида $y=\varphi(x,C_1,C_2)$, обладающая свойствами: 1) Она является решением ДУ при любых значениях $C_1$, $C_2$ 2) Для любых начальных условий $y(x_0)=y_0$ и $y'(x_0)=y'_0$ существует единственное значение $C_1=C_1^0$ и $C_2=C_2^0$, при которых решение $y=\varphi(x,C_1,C_2)$ удовлетворяет заданному начальному условию Всякое решение $y=\varphi(x,C_1,C_2)$, получающееся из ОРДУ путём подстановки начальных условий $C_1=C_1^0$ и $C_2=C_2^0$ называется **ЧРДУ**. Задача, в которой требуется найти ЧРДУ, называется **задачей Коши**. ### Виды ДУ II порядка #### ДУ вида $y''=f(x)$ Для решения таких ДУ 2 раза интегрируем правую часть. $y''=f(x)$ $y'=\int f(x)dx=f_1(x)+C_1$ $y=\int (f_1(x)+C_1)dx=f_2(x)+C_1x+C_2$ Пример: найти ОРДУ $y''=2x-3$ $y'=\int (2x-3)dx=2\frac{x^2}{2}=3x+C_1=x^2-3x+C_1$ $y=\int (x^2-x+C_1)dx=\frac{x^3}{3}-3\frac{x^2}{2}+C_1x+C_2=\frac{1}{3}x^3-\frac{3}{2}x^2+C_1x+C_2$ $y=\frac{1}{3}x^3-\frac{3}{2}x^2+C_1x+C_2$ - ОРДУ #### ДУ вида $y''=f(x,y')$ Для решения таких ДУ делаем замену: $z=y'$, $z'=y''$ Пример: найти ОРДУ $y''-\frac{y'}{x}=0$ $z=y'$ $z'-\frac{z}{x}=0$ $z'=\frac{z}{x}$ $\frac{dz}{dx}=\frac{z}{x}\ \ |\cdot\frac{dx}{z}$ $\frac{dz}{dx}\cdot\frac{dx}{z}=\frac{z}{x}\cdot\frac{dx}{z}$ $\frac{dz}{z}=\frac{dx}{x}$ $\int\frac{dz}{z}=\int\frac{dx}{x}$ $\ln{|z|}=\ln{|x|}+\ln{|C_1|}$ $\ln{|z|}=\ln{|C_1x|}$ $z=C_1x$ $y'=C_1x$ $y=\int C_1xdx=\frac{C_1}{x}x^2+C_2$ $y=\frac{C_1}{2}x^2+C_2$ - ОРДУ #### Линейные однородные ДУ с постоянными коэффициентами Уравнение вида $y''+py'+qy=0$, где $y$ - искомая функция, $p$ и $q$ - действительные числа, называется **линейным однородным дифференциалом** II порядка с постоянными коэффициентами. Для нахождения общего решения линейного однородного ДУ с постоянными коэффициентами составляется квадратное уравнение $k^2+pk+q=0$, которое получается из уравнения $y''+py'+qy=0$ заменой: $y''=k^2$, $y'=k$, $y=1$ Уравнение вида $k^2+pk+q=0$ называется **характеристическим уравнением** линейного однородного ДУ с постоянными коэффициентами. Алгоритм решения линейного однородного ДУ с постоянными коэффициентами: 1) Составить характеристическое уравнение, соответствующее данному однородному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами: $k^2+pk+q=0$ 2) Найти корни характеристического уравнения 3) Используя таблицу, записать общее решение линейного однородного ДУ с постоянными коэффициентами | Дискриминант | Корни уравнения | Общее решение | | ------------ | ------------------------------------------------------------------ | --------------------------------------------------- | | $D>0$ | Действительные различные: $k_1\neq k_2$ | $y=C_1e^{k_1x}+C_2e^{k_2x}$ | | $D=0$ | Действительные равные: $k_1=k_2=k$ | $y=C_1e^{kx}+C_2xe^{kx}$ | | $D<0$ | Комплексно-сопряженные: $k_1=\alpha-\beta i$, $k_2=\alpha+\beta i$ | $y=e^{\alpha x}(C_1\cos{\beta x}+C_2\sin{\beta x})$ |