## Промежутки монотонности функции
Если функция $y=f(x)$ дифференцируема на промежутке $X$ и для любого $x \in X$ выполняется неравенство $f'(x)>0$, то функция **возрастает** на промежутке $X$; если $f'(x)<0$, то функция **убывает** на промежутке $X$.  
Промежутки, на которых функция только убывает или только возрастает, называются **промежутками монотонности**. 
#### Алгоритм нахождения промежутков монотонности
1. Найти $y'$
2. Решить уравнение $y'=0$. Найти стационарные и критические точки
3. Нанести точки из п. 2 на числовую прямую и определить знак производной на каждом промежутке
4. Сделать вывод
  
Пример: найти промежутки монотонности функции $y=60+45x-3x^2-x^3$  
$y'=45-6x-3x^2$  
$45-6x-3x^2=0$  
$x^2+12-15=0$  
$D=4-4(-15)=64$  
$x_1=\frac{-2+8}{2}=3$  
$x_2=\frac{-2+-8}{2}=-5$  
![Промежутки монотонности](../Pictures/04_01.%20Промежутки%20монотонности.png)  
**Вывод:** функция возрастает на $(-5;3)$. Функция убывает на $(-\infty;-5) \cup (3; +\infty)$  
## Точки экстремума функции
Точка $x_0$ называется **точкой максимума** функции, если в некоторой окрестности точки $x_0$ выполняется неравенство $f(x)<f(x_0)$  
Точка $x_0$ называется **точкой минимума** функции, если в некоторой окрестности точки $x_0$ выполняется неравенство $f(x)>f(x_0)$  
Максимумы и минимумы функция называются **экстремумами функций**. 
#### Алгоритм нахождения точек экстремума функции
1. Найти $y'$
2. Решить уравнение $y'=0$. Найти стационарные и критические точки
3. Нанести точки из п. 2 на числовую прямую и определить знак производной на каждом промежутке
4. Если при переходе через $x_0$ производная меняет знак с $-$ на $+$, то $x_0$ - **минимум**. Если при переходе через $x_0$ производная меняет знак с $+$ на $-$, то $x_0$ - **максимум**. 
5. Найти значение функции в точках минимума и максимума
  
Пример: найти точки экстремума функции $y=x^4-4x^3-8x^2+13$  
$y'=4x^3-12x^2-16x$  
$y'=0$  
$x(4x^2-12x-16)=0$  
$x=0$  
$x^2-3x-4=0$  
$D=9-4(-4)=25$  
$x_1=\frac{3+5}{2}=4$  
$x_2=\frac{3-5}{2}=-1$  
![Точки экстремума](../Pictures/04_02.%20Точки%20экстремума.png)  
$y(-1)=10$  
$y(0)=13$  
$y(4)=-115$  
**Вывод:**  
$(-1;10)$ - точка минимума  
$(0;13)$ - точка максимума  
$(4;-115)$ - точка минимума
## Выпуклость и вогнутость функции
График функции называется **выпуклым** на промежутке $X$, если график функции расположен **ниже** любой касательной на промежутке $X$.  
График функции называется **вогнутым** на промежутке $X$, если график функции расположен **выше** любой касательной на промежутке $X$.  
Пусть функция $y=f(x)$ определена на промежутке $X$ и имеет первую и вторую производную. Тогда, если для всех $x \in X$ выполняется неравенство $f''(x)>0$, то график функции имеет **вогнутость** на данном промежутке $X$.  
Пусть функция $y=f(x)$ определена на промежутке $X$ и имеет первую и вторую производную. Тогда, если для всех $x \in X$ выполняется неравенство $f''(x)<0$, то график функции имеет **выпуклость** на данном промежутке $X$.  
Точка $x_0$ графика функции называется **точкой перегиба**, если при переходе через нее график функции меняет направление выпуклости.
#### Алгоритм нахождения промежутков выпуклости, вогнутости, точек перегиба
1. Найти $f'(x)$, $f''(x)$
2. Решить уравнение $y''=0$. Найти стационарные и критические точки
3. Нанести точки из п. 2 на числовую прямую и на каждом интервале определить знак второй производной, направление выпуклости
4. $x=0$ - точка перегиба, если произошла смена выпуклости-вогнутости
5. Найти значение функции в точке перегиба и сделать вывод
  
Пример:
$y=x^4-2x^2+1$  
$y'=4x^3-4x$  
$y''=12x^2-4$  
$y''=0$  
$12x^2-4=0$  
$3x^2-1=0$  
$x^2=\frac{1}{3}$  
$x=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}$  
![Промежутки выпуклости, вогнутости](../Pictures/04_03.%20Промежутки%20выпуклости,%20вогнутости.png)  
$y(-\frac{\sqrt{3}}{3})=\frac{1}{9}-\frac{2}{3}+1=\frac{4}{9}$  
$y(\frac{\sqrt{3}}{3})=\frac{4}{9}$  
**Вывод:** $(-\frac{\sqrt{3}}{3};\frac{4}{9})$ и $(\frac{\sqrt{3}}{3};\frac{4}{9})$ - точки перегиба. График функции вогнутый на $(-\infty;-\frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (\frac{\sqrt{3}}{3};+\infty)$, выпуклый на $(-\frac{\sqrt{3}}{3};\frac{\sqrt{3}}{3})$
## Асимптоты графика функции
Прямая линия $m$ называется **асимптотой** графика функции $y=f(x)$, если расстояние $d$ от точки $M$, лежащей на этом графике, до прямой $m$ стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки по графику функции от начала координат в бесконечности. Существуют 3 вида асимптот:
1) Прямая $x=x_0$ называется **вертикальной асимптотой**, если хотя бы один из пределов $\lim\limits_{x \to x_0^-}f(x)$ или $\lim\limits_{x \to x_0^+}f(x)$ равен бесконечности  
	![Вертикальная асимптота](../Pictures/04_04.%20Вертикальная%20асимтота.png)
2) Прямая $y=b$ называется **горизонтальной асимптотой** графика функции $y=f(x)$, если выполняется условие $\lim\limits_{x \to \pm\infty}f(x)=b$, $b \neq\pm\infty$  
	![Горизонтальная асимптота](../Pictures/04_05.%20Горизонтальная%20асимптота.png)
3) **Наклонная асимптота** - это прямая, заданная уравнением $y=kx+b$, где $k=\lim\limits_{x \to \pm\infty}\frac{y(x)}{x}$ ($k \neq 0$, $k \neq\pm\infty$), $k=\lim\limits_{x \to \pm\infty}(y(x)-kx)$ ($b \neq\pm\infty$)  
	![Наклонная асимптота](../Pictures/04_06.%20Наклонная%20асимптота.png)
  
Пример: найти асимптоты графика функции $y=\frac{x^2+1}{x-2}$  
Вертикальные асимптоты:  
$x=2$ - ?  
$\lim\limits_{x \to 2^-}\frac{x^2+1}{x-2}=\frac{5}{-0}=-\infty$  
$x=2$ - вертикальная асимптота  
Горизонтальные асимптоты:  
$\lim\limits_{x \to \pm\infty}\frac{x^2+1}{x-2}=[\frac{0}{0}]\frac{:x^2}{:x^2}=\frac{1}{0}=\frac{1}{0}=\pm\infty$, значит горизонтальных асимптот нет  
Наклонные асимптоты:  
$y=kx+b$  
$\lim\limits_{x \to \pm\infty}\frac{x^2+1}{(x-2)x}=\lim\limits_{x \to \pm\infty}\frac{x^2+1}{x^2-2x}=[\frac{\infty}{\infty}]\frac{:x^2}{:x^2}=\frac{1}{1}=1$  
$\lim\limits_{x \to \pm\infty}\frac{x^2+1}{x-2}=\lim\limits_{x \to \pm\infty}\frac{x^2+1-x^2+2x}{x-2}=\lim\limits_{x \to \pm\infty}\frac{2x+1}{x-2} = [\frac{\infty}{\infty}]\frac{:x}{:x}=\frac{2}{1}=2$  
$y=x+2$ - наклонная асимптота
## План исследования функции с помощью производной
1. Найти $D(y)$
2. Четность/нечетность
3. Точки пересечения графика с осью координат
4. Промежутки монотонности, точки экстремума
5. Выпуклость/вогнутость, точки перегиба
6. Асимптоты графика функции
7. Дополнительные точки
8. График функции
