Эконометрическую модель можно построить, используя два типа исходных данных:
- данные, характеризующие совокупность различных объектов в определенный момент (период) времени;
- данные, характеризующие один объект за ряд последовательных моментов (периодов) времени.
  
Модели, построенные по данным первого типа, называются **пространственными моделями**.  
Модели, построенные по данным второго типа, называются **моделями временных рядов**.  
**Временной ряд** (динамический ряд, ряд динамики) – это совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов (периодов) времени.  

|               | 2000 г. | 2001 г. | 2002 г. | 2003 г. | 2004 г. |
| ------------- | ------- | ------- | ------- | ------- | ------- |
| ВВП, млрд.руб | 7305,6  | 8943,6  | 10834,2 | 13285,2 | 17048,1 |
## Виды временных рядов
- Стационарные
	  
	![Стационарный временной ряд](../Pictures/10_01.%20Стационарный%20временной%20ряд.png)  
- Нестационарные
	  
	![Нестационарный временной ряд](../Pictures/10_02.%20Нестационарный%20временной%20ряд.png)    
	- Содержащие **тренд** (отражает устойчивые средние изменения показателя)
		  
		![Временной ряд с линией тренда](../Pictures/10_03.%20Временной%20ряд%20с%20линией%20тренда.png)
	- Содержащие **сезонную компоненту** (отражает колебания показателя с определенным периодом)
		  
		![Временной ряд с сезонной компонентой](../Pictures/10_04.%20Временной%20ряд%20с%20сезонной%20компонентой.png)
  
Три составляющие временного ряда:
- Долговременная тенденция $T$
- Периодическая (циклическая или сезонные колебания $S$)
- Случайные компонента $E$ 
  
![Составляющие временного ряда](../Pictures/10_05.%20Составляющие%20временного%20ряда.png)  
Модели временного ряда:
1. Аддитивная - $Y_t=T_t+S_t+E_t$
2. Мультипликативная - $Y_t=T_t⋅S_t⋅E_t$
3. Смешанная - $Y_t=T_t⋅S_t⋅E_t$
  
Основная задача эконометрического исследования временного ряда: выявление и количественное выражение его компонент (тенденции, периодичности, случайной компоненты) в целях их использования для прогнозирования будущих значений ряда.
## Определение тенденции
#### Метод аналитического выравнивания
![Метод аналитического выравнивания](../Pictures/10_06.%20Метод%20аналитического%20выравнивания.png)  
Тенденцию (тренд) определяет линия, проходящая максимально близко к точкам временного ряда.  
Типовые функции трендов:
- Линейная: $y(x)=a⋅x+b$
- Степенная: $y(x)=a⋅x^b$
- Показательная: $y(x)=a⋅b^x$
- Экспоненциальная: $y(x)=a⋅e^{bx}$
- Гиперболическая: $y(x)=a+\frac{b}{x}$
- Логарифмическая: $y(x)=a+b⋅\lg{x}$
  
Для определения вида тенденции применяются следующие методы:
- качественный анализ изучаемого процесса;
- построение и визуальный анализ графика зависимости уровней ряда от времени;
- расчет и анализ показателей динамики временного ряда (абсолютные приросты, темпы роста и др.);
- метод перебора, при котором строятся тренды различного вида с последующим выбором наилучшего на основании значения скорректированного коэффициента детерминации.
  
Различные виды тренда:  
![Виды тренда](../Pictures/10_07.%20Виды%20тренда.png)  
Выбор вида тенденции на основе качественного анализа:  
![Выбор вида тенденции](../Pictures/10_08.%20Выбор%20вида%20тенденции.png)  
1. Процессы с монотонным характером развития и отсутствием пределов роста. Функции:
	- линейная функция
	- параболическая функция
	- экспоненциальная функция
	- степенная функция
2. Процессы, имеющие предел роста (падения), так называемые процессы с "насыщением"
	- гиперболическая функция
	- модифицированная экспонента
3. S-образные процессы
	- логистическая функция: $y_t=\frac{K}{1+a_0e^{−bt}}$
#### Метод скользящего среднего
Позволяет сгладить случайные и периодические колебания и выявить тенденцию.
- Определить длину интервала сглаживания. Чем он больше, тем в большей степени поглощаются колебания (l)
- Весь ряд данных разбивается на участки длиной l, при этом он скользит по ряду с шагом 1
- Рассчитать средние каждого участка
- Фактические значения стоящие в центре каждого участка заменяют на соответствующие средние (удобно брать длину интервала сглаживания нечетной)
  
При сглаживании ряд становится «короче» на $(l−1)$ значение. Чем больше $l$, тем сильнее сглаживается ряд.
## Выявление смены тенденции
![Выявление смены тенденции](../Pictures/10_09.%20Выявление%20смены%20тенденции.png)  
## Автокорреляция уровней временного ряда
**Автокорреляция уровней временного ряда** - это корреляционная зависимость между последовательными уровнями временного ряда. Измеряется с помощью линейного коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями ряда, сдвинутыми на несколько шагов назад во времени:  
$r_t=\frac{\sum{^n_{t=τ+1}}(y_t-\overline{y_{1t}})(y_{t-τ}-\overline{y_{2τ}})}{\sqrt{\sum{^n_{t=τ+1}}(y_t-\overline{y_{1τ}})^2\sum{^n_{t=τ+1}}(y_{t-τ}-\overline{y_{2τ}})^2}}$, $\overline{y_{1t}}=\frac{\sum{^n_{t=τ+1}}y_t}{n-τ}$, $\overline{y_{2τ}}=\frac{\sum{^n_{t=τ+1}}y_{t-τ}}{n-τ}$, где $τ$ – величина сдвига во времени, или лаг.  
Например, лаг $τ=1$ означает, что ряд сдвинут на один период (момент) назад и т. д. С увеличением лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается.  
Свойства коэффициента автокорреляции:
- характеризует тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней ряда, поэтому по данному коэффициенту можно судить о наличии линейной или близкой к линейной тенденции. Для некоторых временных рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию, коэффициент автокорреляции может приближаться к нулю;
- по знаку коэффициента автокорреляции нельзя судить о возрастающей или убывающей тенденции в уровнях ряда.
  
**Автокорреляционная функция временного ряда (АКФ)** – это последовательность коэффициентов автокорреляции первого, второго и т.д. порядков.  
**Коррелограмма** – это график зависимости значений АКФ от величины лага.  
![Коррелограмма](../Pictures/10_10.%20Коррелограмма.png)  
#### Анализ автокорреляционной функции
Если максимальный коэффициент автокорреляции оказался 1-го порядка, то исследуемый ряд содержит только тенденцию.  
Если максимальным оказался коэффициент автокорреляции порядка t, то ряд содержит колебания с периодичностью в t моментов времени.  
Если ни один не является значимым – ряд не содержит тенденции и нет циклической компоненты. Ряд формируется под воздействием случайных факторов (можно провести дополнительный анализ на наличие нелинейной тенденции).
## Моделирование периодических колебаний
Построение аддитивной и мультипликативной моделей сводится к расчету значений $T$, $S$, $E$ для каждого уровня ряда.  
Процесс построения модели включает в себя следующие этапы:
1. Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней.
2. Расчет значений периодической компоненты $S$.
3. Устранение периодической компоненты из исходных уровней ряда и получение выравненных данных $(Т+Е)$ в аддитивной или $(Т⋅Е)$ в мультипликативной модели.
4. Аналитическое выравнивание уровней ряда и расчет значений $Т$ с использованием полученного уравнения тренда.
5. Расчет полученных по модели значений $(Т+S)$ или $(Т⋅S)$.
6. Расчет абсолютных и/или относительных ошибок
### Корректировочный коэффициент для сезонной компоненты
Должно выполняться условие: 
- Для аддитивной модели: $\sum{\overline{S_i}}=0$ 
- Для мультипликативной модели: $\sum{\overline{S_i}}=τ$ 
  
Если условие не выполняется, то вводится корректировочный коэффициент: 
- $k=\frac{\sum{\overline{S_i}}}{τ}$ 
- $k=\frac{τ}{\sum{\overline{S_i}}}$ 
  
Корректировка сезонной компоненты: 
- $S_i=\overline{S_i}−k$
- $S_i=\overline{S_i}⋅k$
  
Для оценки качества построенной модели используют сумму квадратов ошибок (случайной компоненты): $(1-\frac{\sum{E^2}}{\sum(y-\overline{y}^2)})⋅100$  
Коэффициент показывает долю вариации результативного признака, которая объясняется построенной моделью.
