**Средние величины** - это обобщающие показатели, в которых находят выражение действия общих условий, закономерности изучаемых явлений. Статистические средние рассчитываются на основе массовых данных.  
Выделим следующие понятия и обозначения:
- $\overline{x}$ - **осредняемый признак** (признак по которому находится средняя)
- $x_i$ или $x_1, x_2, ..., x_n$ - **индивидуальное значение осредняемого признака** у каждой единицы или вариант
- $f_i$ - **частота** - повторяемость индивидуальных значений признака (его вес);
- $W_i$ - **частность** - относительная частота, т.е. отношение частоты повторения индивидуального значения признака к сумме частот.
- $W_i=\frac{f_i}{\sum{_{i=0}^{n}}f_i}$, где $n$ - число вариантов.

## Средняя арифметическая
- $\overline{x}=\frac{\sum{_{i=1}^n}x_i}{n}$ - средняя арифметическая простая;
- $\overline{x}=\frac{\sum_{i=1}^nx_i f_i}{\sum_{i=1}^nf_i}$ - средняя арифметическая взвешенная;
- $\overline{x}=\frac{\sum_{i=1}^nx_iw_i}{\sum_{i=1}^nw_i}$ - средняя арифметическая доли
  
**Пример:** определить среднюю заработную плату работников турфирмы, если имеются следующие данные:

|Зарплата|Число человек|
|---|---|
|До 5|5|
|5-7|7|
|7-9|8|
|9-11|11|
|свыше 11|9|
  
**Решение:** Для вычисления средней заработной платы составим расчетную таблицу:

| Зарплата | Число человек | Показатель $X^′$ | Показатель $X^′f_i$ |
| -------- | ------------- | ---------------- | ------------------- |
| До 5     | 5             | 4                | 20                  |
| 5-7      | 7             | 6                | 42                  |
| 7-9      | 8             | 8                | 64                  |
| 9-11     | 11            | 10               | 110                 |
| выше 11  | 9             | 12               | 108                 |
| Итого    | 40            | -                | 344                 |
  
Определим среднюю заработную плату по формуле средней арифметической взвешенной: $\overline{x}=\frac{\sum_{i=1}^nx_if_i}{\sum_{i=1}^nf_i}=\frac{344}{40}=8.6$
  
**Основные свойства средней арифметической:**
1. Средняя от постоянной величины равна ей самой: $\overline{A}=A$
2. Произведение средней на сумму частот равно сумме произведений вариантов на частоты: $\overline{X}\sum{}f=\sum{}xf$
3. Изменение каждого варианта на одну и ту же величину изменяет среднюю на ту же величину: $\frac{\sum{(x±A)}}{\sum{f}}=\overline{x}±A$
4. Изменение каждого варианта в одно и то же число раз изменяет среднюю во столько же раз: $\frac{\sum{Axf}}{\sum{f}}=A\overline{X}$
5. Изменение каждого из весов в одно и то же количество раз не изменяет величины средней: $\frac{\sum{x(Af)}}{\sum{Af}}=\frac{A\sum{xf}}{A\sum{f}}=\frac{\sum{xf}}{\sum{f}}=\overline{X}$
6. Алгебраическая сумма отклонений всех вариантов от средней равна нулю: $\sum{(x−\overline{X})f}=0$
7. Средняя суммы равна сумме средних: $\overline{X+Y}=\overline{X}+\overline{Y}$
8. Сумма квадратов отклонений вариантов от средней арифметической меньше, чем от любой другой величины: $\sum{(x−\overline{X})^2}=min$
## Средняя гармоническая
**Средняя гармоническая** – это величина, обратная средней арифметической. Она применяется, когда статистическая информация не содержит частот по определенным вариантам совокупности, представлена как их произведение.
- $\overline{X}=\frac{n}{\sum{_{i=1}^n}\frac{1}{x_i}}$ - средняя гармоническая простая
- $\overline{X}=\frac{\sum{^n_{i=1}}f_i}{\sum{_{i=1}^n}\frac{f_i}{x_i}}$ - средняя гармоническая взвешенная (можно определить частоту или вес)
- $\overline{X}=\frac{\sum{^n_{i=1}}w_i}{\sum{_{i=1}^n}\frac{w_i}{x_i}}$ - средняя гармоническая доли (можно определить частость)
  
**Пример:** Определить среднюю цену изделия, если:

|Вид|Цена|Общая стоимость|
|---|---|---|
|А|4|80|
|Б|8|240|
|В|10|600|
  
**Решение:** $\overline{X}=\frac{\sum{^n_{i=1}}f_i}{\sum{_{i=1}^n}\frac{f_i}{x_i}}$  
Средняя цена изделия: $\overline{X}=\frac{80+240+600}{\frac{80}{4}+\frac{240}{8}+\frac{600}{10}}=8.364$  
Определять среднюю во многих случаях удобнее через **исходное соотношение средней (ИСС)** или ее логическую формулу: $$ИСС=\frac{Суммарное\ значение\ или\ объем\ осредняемого\ признака}{Число\ единиц\ или\ объем\ совокупности}$$  
**Пример:** Рассчитать среднюю заработную плату работников в целом по трем предприятиям сферы обслуживания.

|Численность персонала, чел.|Месячный фонд заработной платы, тыс.руб.|Средняя заработная плата, тыс.руб.|
|---|---|---|
|1|2|3|
|540|5648,4|10,46|
|275|3327,5|12,10|
|458|5175,4|11,30|
|1273|14151,3|-|
  
Средняя заработная плата может быть получена через следующее соотношение: $$ИСС=\frac{Совокуный\ фонд\ заработной\ платы}{Общая\ численность\ персонала}$$
Предположим, что мы располагаем только данными групп 1 и 2, тогда $\overline{X}=\frac{14151,3}{1273}=11.12$  
Если мы располагаем данными о средней заработной плате и численности работников $\overline{X}=\frac{10.46⋅540+12.10⋅275+11.30⋅458}{1273}=11.12$  
Допустим, что в нашем распоряжении только данные о фонде заработной платы и средней численности персонала (группы 2 и 3), тогда средняя заработная плата: $\overline{X}=\frac{14151.3}{\frac{5648.4}{10.46}+\frac{3327.5}{12.10}+\frac{5175.4}{11.30}}=11.12$  
### Средняя геометрическая
**Средняя геометрическая** величина используется также для определения равноудаленной величины от максимального и минимального значений признака. $\overline{X}=\sqrt[n]{x_1⋅x_2⋅...⋅x_n}$.  
**Пример:** Страховая фирма заключает договоры на оказание клиентам различных услуг медицинского страхования. В зависимости от категории медицинского учреждения, ассортимента услуг, конкретного рискового случая страховая сумма выплат может изменяться от 100 до 10000 долларов в год.  
Средняя сумма выплат по страховке: $\sqrt{100⋅10000}=1000$
### Средняя квадратическая
Формула **средней квадратической** используется для измерения степени колеблемости индивидуальных значений признака вокруг средней арифметической в рядах распределения: $\overline{X}=\sqrt{\frac{\sum{X^2}}{n}}$
