Функция $F(x)$ называется **первообразной** для функции $f(x)$, определенной на промежутке $X$, если для любого $x \in X$ выполняется равенство $F'(x)=f(x)$  
Если $F(x)$ - первообразная для функции $f(x)$ на промежутке $X$, то выражение вида $F(x)+C$, где $C$ - $const$, задает все первообразные функции $f(x)$ на промежутке $X$  
Совокупность всех первообразных вида $F(x)+C$, где $C$ - $const$, называется **неопределенным интегралом** от функции $f(x)$ на промежутке $X$, и обозначается $\int {f(x)dx}$, где $f(x)$ - подынтегральная функция, $x$ - переменная интегрирования.  
Процесс нахождения первообразной функции называется **интегрированием**.  
## Свойства неопределенного интеграла
1) $(\int{f(x)dx})'=f(x)$
2) $\int{kf(x)dx}=k\int{f(x)dx}$ ($k$ - $const$)
3) $\int({f(x)}\pm{g(x)})dx=\int{f(x)dx}\pm\int{g(x)dx}$
4) $\int{f(kx+b)dx}=\frac{1}{k}F(x)+C$ ($k$, $b$ - числа)
5) $\int dF(x)=F(x)+C$
## Таблица интегралов (первообразных)
1) $\int dx=x+C$
2) $\int x^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$
3) $\int\frac{dx}{\sqrt{x}}=2\sqrt{x}+C$
4) $\int\frac{dx}{x}=\ln{|x|}+C$
5) $\int\frac{dx}{x\pm a}=\ln{|x\pm a|}+C$
6) $\int\cos{x}dx=\sin{x}+C$
7) $\int\sin{x}dx=-\cos{x}+C$
8) $\int\frac{1}{\cos^2{x}}dx=tg\ x+C$
9) $\int\frac{1}{\sin^2{x}}dx=-ctg\ x+C$
10) $\int e^xdx=e^x+C$
11) $\int a^xdx=\frac{a^x}{\ln{a}}+C$
12) $\int\frac{dx}{x^2-a^2}=\frac{1}{2a}\ln|\frac{x-a}{x+a}|+C$
13) $\int\frac{dx}{x^2+1}=arctg\ x+C$
14) $\int\frac{dx}{x^2+a^2}=\frac{1}{a}arctg\ \frac{x}{a}+C$
15) $\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin{x}+C$
16) $\int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin\frac{x}{a}+C$
17) $\int\frac{dx}{\sqrt{a^2+x^2}}=\ln{|a+\sqrt{a^2+x^2}|}+C$
18) $\int\sqrt{a^2-x^2}dx=\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+\frac{a^2}{2}\arcsin{\frac{x}{2}}+C$
19) $\int\sqrt{x^2\pm a^2}dx=\frac{x}{2}\sqrt{x^2\pm a^2}\pm\frac{a^2}{2}\ln{|a+\sqrt{x^2\pm a^2}|} + C$ 
## Методы интегрирования
1. Непосредственное интегрирование (с помощью таблицы)  
	Пример:  
	$\int (\frac{4}{\cos^2{x}}+6e^{2x}-4x^3+1)dx=4\int\frac{dx}{\cos^2{x}}+6\int{e^{2x}dx-4\int{x^3dx}}+\int{dx}=4tg\ x+3e^x-x^4+x+C$
2. Метод интегрирования введением (подстановкой)  
	Пусть требуется вычислить $\int{f(x)dx}$. Сделаем замену $x=φ(t)$, где $φ(t)$ имеет непрерывную производную. Найдем производную от обеих частей выражения $dx=φ'(t)dt$. Получим $\int{f(x)dx}=\int{f(φ(t))φ'(t)dt}$  
	Пример:  
```math
\int\frac{4x}{\sqrt{8x^2+2}}dx = 
\left|
	\begin{matrix}
	t = 8x^2 + 2 \\
	dt = (8x^2+2)dx = 16xdx \\
	xdx = \frac{dt}{16}
	\end{matrix} 
\right|
= \int\frac{7\frac{dt}{16}}{\sqrt{t}}=\frac{7}{16}\int{\frac{dt}{\sqrt{t}}}=\frac{7}{16}*2\sqrt{t}+C=\frac{7}{8}\sqrt{8x^2+2}+C
```
3. Метод интегрирования по частям  
	Пусть функции $u(x)$ и $V(x)$ - это дифференцируемые функции. Тогда справедлива формула $\int{udV}=uV-\int{Vdu}$  

| Интеграл                   | $u$          | $dV$         |
| -------------------------- | ------------ | ------------ |
| $\int{P_n(x)e^{ax}dx}$     | $P_n(x)$     | $e^{ax}dx$   |
| $\int{P_n(x)\cos{ax}dx}$   | $P_n(x)$     | $\cos{ax}dx$ |
| $\int{P_n(x)\sin{ax}dx}$   | $P_n(x)$     | $\sin{ax}dx$ |
| $\int{P_n(x)\ln{x}dx}$     | $\ln{x}$     | $P_n(x)dx$   |
| $\int{P_n(x)\arcsin{x}dx}$ | $\arcsin{x}$ | $P_n(x)dx$   |
| $\int{P_n(x)\arccos{x}dx}$ | $\arccos{x}$ | $P_n(x)dx$   |
| $\int{P_n(x)arctg\ {x}dx}$ | $arctg\ x$   | $P_n(x)dx$   |
| $\int{e^{ax}\sin{bx}dx}$   |              |              |
| $\int{e^{ax}\cos{bx}dx}$   |              |              |
  
$P_n(x)$ - многочлен  
Примеры:   
```math
\int{(3x+5)\cos{x}dx} = 
\left|
	\begin{matrix}
	u = 3x + 5 \\
	dV = \cos{x}dx
	\end{matrix} 
\right|
\left|
	\begin{matrix}
	du = (3x + 5)'dx = 3 \\
	V = \int\cos{x}dx = \sin{x}
	\end{matrix} 
\right|
= (3x+5)\sin{x}=\int{3\sin{x}dx}=(3x+5)\sin{x}+3\cos{x}dx + C
```
  
```math
\int{(2-3x)\ln{2x}dx} = 
\left|
	\begin{matrix}
	u = \ln{2x} \\
	dV = 2-3x
	\end{matrix} 
\right|
\left|
	\begin{matrix}
	du = (\ln{2x})'dx = \frac{1}{x} dx \\
	V = \int{(2-3x)dx} = 2x - \frac{3x^2}{2}
	\end{matrix} 
\right|
= \ln{2x}(2x-\frac{3x^2}{2})-\int\int(2x-\frac{3x^2}{2})\frac{1}{x}dx = \ln{2x}(2x-\frac{3x^2}{2})-\int\int(2-\frac{3x^2}{2})dx = \ln{2x}(2x-\frac{3x^2}{2})-2x+\frac{3x^2}{2}+C
```
