Пусть дана бесконечная последовательность чисел $`a_1,a_2,...,a_n`$  
Выражение вида $a_1+a_2+...+a_n+...=\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ называется **числовым рядом** ($a_n$ - общий член ряда, $n$ - его номер).  
Ряд вида $\sum\limits_{n=1}^\infty aq^n$ называется **рядом геометрической прогрессии** (**геометрическим рядом**).  
Ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^\alpha}$, состоящий из чисел, обратных натуральным числам, называется **обобщенным гармоническим рядом**.  
Примеры: выписать первые 5 членов ряда  
1) $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{2}{n+1}$  
	$n=1$: $\frac{2}{1+1}=1$  
	$n=2$: $\frac{2}{2+1}=\frac{2}{3}$  
	$n=3$: $\frac{2}{3+1}=\frac{1}{2}$  
	$n=4$: $\frac{2}{4+1}=\frac{2}{5}$  
	$n=5$: $\frac{2}{5+1}=\frac{1}{3}$  
2) $\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{k^2+4}$  
	$k=1$: $\frac{(-1)^1}{1+4}=-\frac{1}{5}$  
	$k=2$: $\frac{(-1)^2}{4+4}=\frac{1}{8}$  
	$k=3$: $\frac{(-1)^3}{9+4}=-\frac{1}{13}$  
	$k=4$: $\frac{(-1)^4}{16+4}=\frac{1}{20}$  
	$k=5$: $\frac{(-1)^5}{25+4}=-\frac{1}{29}$  
  
Обозначим:
- $S_1=a_1$
- $S_2=a_1+a_2$
- $S_3=a_1+a_2+a_3$
- ...
- $S_n=a_1+a_2+a_3+...+a_n+...$
  
Суммы $S_1, S_2, ..., S_n, ...$ конечного числа членов ряда $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ называются **частичными суммами ряда**.  
## Сходимость рядов
Если существует конечный предел $S=\lim\limits_{n\to\infty}S_n$, то ряд называется **сходящимся**, а число $S$ - **суммой этого ряда**. Если предел не существует или равен бесконечности, то числовой ряд **расходится**.  
**Необходимое условие сходимости ряда (НУСР):** если числовой ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ сходится, то его общий член $a_n$ стремится к нулю, т. е. $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0$. Если $\lim\limits_{n\to\infty}a_n\neq0$, то необходимое условие сходимости ряда не выполняется, ряд  расходится.  
Пример: проверить, выполняется ли НУСР
1) $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{4n+3}{2-n^2}$  
	$a_n=\frac{4n+3}{2-n^2}$  
	$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{4n+3}{2-n^2}=[\frac{\infty}{\infty}]^{:n^2}=\frac{0}{-1}=0$, следовательно, НУСР выполняется
2) $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n!}{3n^4+1}$  
	$a_n=\frac{n!}{3n^4+1}$  
	$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n!}{3n^4+1}=[\frac{\infty}{\infty}]=\infty$, т. к. $n!\to\infty$ быстрее, чем $3n^4+1$, следовательно, НУСР не выполняется, ряд расходится
### Признаки сходимости рядов
#### Геометрический ряд
```math
\sum\limits_{n=1}^\infty q^n
\begin{cases}
    |q|<1 \text{ - ряд сходится} \\
    |q|>1 \text{ - ряд расходится} \\
    |q|=1 \text{ - требуются дополнительные исследования}
\end{cases}
```
Примеры: определить, сходятся ли геометрические ряды
1) $\sum\limits_{n=1}^\infty 2\cdot4^n$  
	$\sum\limits_{n=1}^\infty 2\cdot4^n=2\sum\limits_{n=1}^\infty 4^n$  
	$a_n=4^n$  
	$q=4$  
	$|q|>1$, следовательно, ряд расходится
2) $\sum\limits_{n=1}^\infty 3(\frac{1}{4})^n$  
	$\sum\limits_{n=1}^\infty 3(\frac{1}{4})^n=3\sum\limits_{n=1}^\infty (\frac{1}{4})^n$  
	$a_n=(\frac{1}{4})^n$  
	$q=\frac{1}{4}$  
	$|q|<1$, следовательно, ряд сходится
#### Обобщенный гармонический ряд
```math
\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^\alpha}
\begin{cases}
    \alpha>1 \text{ - ряд сходится} \\
    \alpha\leq1 \text{ - ряд расходится}
\end{cases}
```
Пример: определить, сходятся ли обобщенные гармонические ряды
1) $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{3}{n^9}$  
	$\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{3}{n^9}=3\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^9}$  
	$a_n=\frac{1}{n^9}$  
	$\alpha=9$  
	$\alpha>1$ следовательно, ряд сходится
1) $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{4}{\sqrt[5]n^2}$  
	$\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{4}{\sqrt[5]n^2}=4\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^\frac{2}{5}}$  
	$a_n=\frac{1}{n^\frac{2}{5}}$  
	$\alpha=\frac{2}{5}$  
	$\alpha<1$, следовательно, ряд расходится
#### Предельный признак сравнения
Если для рядов с неотрицательными членами $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n=a_1+a_2+...+a_n+...$ и $\sum\limits_{n=1}^\infty b_n=b_1+b_2+...+b_n+...$ выполняется условие $\lim\limits_{n\to\infty}=k$, где $k\neq0$ и $k\neq\infty$, то эти ряды сходятся или расходятся одновременно.  
Пример: исследовать сходимость ряда с помощью предельного признака сравнения  
$\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n^2+4n}{2n^3-7}$  
$a_n=\frac{n^2+4n}{2n^3-7}$  
Сравним с рядом $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{3-2}}=\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$ - ОГР  
$\alpha=1$, следовательно, ряд расходится  
$k=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^3+4n^2}{2n^3-7}=[\frac{\infty}{\infty}]^{:n^3}=\frac{1}{2}\neq0,\neq\infty$, следовательно, оба ряда расходятся
#### Признак Даламбера
Если члены положительного ряда $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ таковы, что существует предел $\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=D$, то:
- при $D<1$ ряд сходится
- при $D>1$ ряд расходится
- при $D=1$ требуются дополнительные исследования
  
Пример: с помощью признака Даламбера исследовать сходимость ряда  
$\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{3^n}{2n+1}$  
$a_n=\frac{3^n}{2n+1}$  
$a_{n+1}=\frac{3^{n+1}}{2(n+1)+1}=\frac{3\cdot3^n}{2n+3}$  
$D=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{3\cdot3^n(2n+1)}{(2n+3)3^n}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{6n+3}{2n+3}=[\frac{\infty}{\infty}]^n=3>1$, следовательно, ряд расходится
#### Признак Коши
Если члены положительного ряда $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ таковы, что существует предел $\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=K$, то:
- при $K<1$ ряд сходится
- при $K>1$ ряд расходится
- при $K=1$ требуются дополнительные исследования
  
Пример: исследовать на сходимость ряд, используя признак Коши  
$\sum\limits_{n=1}^\infty (\frac{2n}{4n^2-1})^n$  
$a_n=(\frac{2n}{4n^2-1})^n$  
$K=\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{(\frac{2n}{4n^2-1})^n}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{2n}{4n^2-1}=[\frac{\infty}{\infty}]^{:n^2}=\frac{0}{4}=0<1$, следовательно, ряд сходится