Пусть каждой упорядоченной паре $(x,y)\in D$ ставится в соответствие значение или определённое число $z \in E$. Тогда $z$ называется **функцией двух переменных** и обозначается $z=f(x,y)$, где $x$, $y$ - независимые переменные, $f$ - закон соответствия. Множество $D$ - область определения функции. Множество $E$ - область значений функции.  
**Графиком функции двух переменных** называется множество точек пространства, координаты которых удовлетворяют соотношению $z=f(x,y)$.  
Примеры: найти область определения функции  
1) $z=\sqrt{4−x^2−y^2}$  
	$4−x^2−y^2 \geq 0$  
	$−x^2−y^2 \geq -4$  
	$x^2+y^2 \leq 4$  
	$D$ - все точки круга с центром $(0;0)$ и $R=2$  
	![Область определения](../Pictures/07_01.%20Область%20определения.png)
2) $z=\arcsin(5-x^2-y^2)$  
	$-1 \leq 5-x^2-y^2 \leq 1$  
	$-6 \leq -x^2-y^2 \leq -4$  
	$4 \leq x^2+y^2 \leq 6$  
	![Область определения](../Pictures/07_02.%20Область%20определения.png)
## Предел функции 2 переменных
Множество всех точек $M(x;y)$ плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенству $\sqrt{(x−x_0)^2+(y−y_0)^2}<δ$ называется **$δ$-окрестностью** точки $M_0(x_0; y_0)$.  
Пусть функция $z=f(x,y)$ определена в некоторой окрестности точки $M_0(x_0;y_0)$. Число $A$ называется **пределом функции** $z=f(x,y)$ в точке $M_0(x_0,y_0)$, если для любого $ε>0$ существует $δ>0$ такое, что для всех $x≠x_0$, $y≠y_0$ и удовлетворяющих неравенству $\sqrt{(x−x_0)^2+(y−y_0)^2}<δ$ справедливо неравенство $|f(x,y)−A|<ε$. Если $A$ - предел функции $f(x,y)$, то пишут $A=\lim\limits_{x \to x_0, y \to y_0} f(x,y)=A=\lim\limits_{M \to M_0} f(M)$  
Пример: найти предел $\lim\limits_{x \to 1, y \to 2} (x^2+y^2)$  
$\lim\limits_{x \to 1, y \to 2} (x^2+y^2)=1^2+2^2=5$  
## Непрерывность функции 2 переменных
Функция $z=f(x,y)$ называется **непрерывной в точке $M_0(x_0,y_0)$**, если:
- функция определена в этой точке и некоторой её окрестности
- функция имеет предел $\lim\limits_{M \to M_0} f(M)$
- этот предел равен значению функции $z$ в точке $M_0$, т. е. $A=\lim\limits_{x \to x_0, y \to y_0} f(x,y)=f(x_0, y_0)$
  
Если точка непрерывна в каждой точке области $D$, то она называется **непрерывной в области $D$**.  
## Частные производные I порядка
Пусть функция $z=f(x,y)$ определена и непрерывна в области $D$. Обозначим: 
- $\Delta x$ - приращение переменной $x$ при постоянном значении $y$
- $\Delta_xz$ - частное приращения функции $z$ по переменной $x$: $\Delta_xz=f(x+Δx,y)−f(x,y)$
- $\Delta y$ - приращение переменной $y$ при постоянном значении $x$
- $\Delta_yz$ - частное приращение функции $z$ по переменной $y$: $\Delta_yz=f(x,y+\Delta y)−f(x,y)$
  
Если существует конечный предел $\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta_xz}{\Delta x}=\frac{∂z}{∂x}=z^\prime_x=f^\prime_x(x,y)$, то он называется **частной производной функции $z$ по переменной $x$** и обозначается $z^\prime_x$ или $\frac{∂z}{∂x}$  
Если существует конечный предел $\lim\limits_{\Delta y \to 0} \frac{\Delta_yz}{\Delta y}=\frac{∂z}{∂y}=z'_y=f'_y(x,y)$, то он называется **частной производной функции $z$ по переменной $y$** и обозначается $z'_y$ или $\frac{∂z}{∂y}$  
Пример: найти $z'_x$ и $z'_y$ для функции $z=x^2+3xy+4y^2$  
$z'_x=(x^2)'_x+3y(x)'_x+(4y^2)'_x=2x+3y$  
$z'_x=(x^2)'_y+3x(y)'_y+(4y^2)'_y=3x+8y$  
## Частные производные высших порядков
Пусть функции $z^\prime_x$ и $z^\prime_y$ имеют непрерывные частные производные высших порядков. Тогда **производными второго порядка** функции $z=f(x,y)$ по переменным $x$ и $y$ называются частные производные от функций $z^\prime_x$, $z^\prime_y$.  
Обозначение: $`z''_{xx}`$,  $`z''_{xy}`$, $`z''_{yx}`$, $`z''_{yy}`$, причем $`z''_{xy}`$ и $`z''_{yx}`$ называются **смешанными**.  
Если частные производные высших порядков непрерывны, то смешанные производные одного порядка равны.  
Пример: найти $`z''_{xx}`$, $`z''_{xy}`$, $`z''_{yx}`$, $`z''_{yy}`$для функции $z=x^3-3y^2+y^4-2$  
$z'_x=3x^2-3y^2$  
$z'_y=-6xy+4y^2$  
$`z'_{xx}=(3x^2-3y^2)'_x=6x`$  
$`z'_{xx}=(3x^2-3y^2)'_y=-6y`$  
$z'_y=(-6xy+4y^2)'_x=-6y$  
$z'_y=(-6xy+4y^2)'_y=-6x+12y^2$  
## Полный дифференциал функции
Пусть функция $z=f(x,y)$ определена в некоторой окрестности точки $M(x;y)$. $\Delta z = f(x+\Delta x, y+\Delta y)-f(x,y)$ - полное приращение функции.  
Функция $z=f(x,y)$ называется **дифференцируемой** в точке $M(x,y)$, если её полное приращение можно представить в виде: $\Delta z = A\Delta x+B\Delta y + \alpha\Delta x + \beta\Delta y$, где $A$, $B$ - числа, не зависящие от $\Delta x$, $\Delta y$, а $α$, $β$ стремятся к нулю при $\Delta x→0$ и $\Delta y→0$.  
**Полным дифференциалом функции** $z=f(x,y)$ называется главная часть полного приращения функции, зависящая от приращений $\Delta x$ и $\Delta y$.  
Обозначение: $dz=z'_xdx+z'_ydy$  
Пример: найти дифференциал функции $z=\sin{4x^2-3y^3}$  
$z'_x=\cos{(4x^2-3y^3)}(4x^2-3y^3)'_x=8x\cos{(4x^2-3y^3)}$  
$z'_y=\cos{(4x^2-3y^3)}(4x^2-3y^3)'_y=-9y^2\cos{(4x^2-3y^3)}$  
$dz=8x\cos{(4x^2-3y^3)}-9y^2\cos{(4x^2-3y^3)}$  
## Дифференцирование неявной функции
Пусть $x$ и $y$ связаны между собой уравнением $f(x,y)=0$. Тогда справедлива формула $y'_x={f'_{x}(x,y)\over f'_{y}(x,y)}$  
Пример: найти производную неявной функции $x^3+y^3-5xy=0$  
$f(x,y)=x^3+y^3-5xy$  
$f'_x=3x^2-5y$  
$f'_y=3y^2-5x$  
$y'_x=\frac{3x^2-5y}{3y^2-5x}$
## Экстремум функции 2 переменных
Пусть функция $z=f(x,y)$ определена в области $D$, точка $M_0(x_0; y_0) \in D$.  
Точка $M_0(x_0;y_0)$ называется **точкой максимума** функции $z=f(x,y)$, если существует такая $δ$-окрестность точки $M_0$, что для каждой точки $M$ из этой окрестности выполняется неравенство $f(x,y)<f(x_0,y_0)$  
Точка $M_0(x_0;y_0)$ называется **точкой минимума** функции $z=f(x,y)$, если существует такая $δ$-окрестность точки $M_0$, что для каждой точки $M$ из этой окрестности выполняется неравенство $f(x,y)>f(x_0,y_0)$  
Значения функции в точках максимума и минимума называются **максимумами** или **минимумами функции** (**экстремумами**).  
Если в точке $M_0(x_0;y_0)$ функция имеет экстремум, то её частные производные I порядка равны нулю: $z'_x=0$, $z'_y=0$  
Пусть в точке $M_0(x_0;y_0)$ и некоторой её окрестности функция $z=f(x,y)$ имеет непрерывные частные производные I и II порядка. Обозначим:  
```math
\Delta = 
\left|
	\begin{matrix}
	A\ B \\
	B\ C
	\end{matrix} 
\right|
= AC-B^2
```
где $`A=z''_{xx}(M_0)`$, $`B=z''_{xy}`$, $C=z''_{yy}(M_0)$. Тогда:
1) если $\Delta>0$, то функция $z=f(x;y)$ имеет экстремум в точке $M_0(x_0;y_0)$, если $A<0$, то максимум, если $A>0$, то минимум
2) если $\Delta<0$, то экстремумов нет
3) если $\Delta=0$, то требуются дополнительные исследования
#### Алгоритм нахождения экстремумов функций 2 переменных
1. Найти частные производные I порядка $z'_x$ и $z'_y$
2. Решить систему уравнений, найти стационарные и критические точки
```math
\begin{cases}
    z'_x = 0 \\
    z'_y = 0
\end{cases}
```
3. Найти частные производные II порядка $`z'_{xx}`$, $`z'_{xy}`$, $`z'_{yy}`$
4. Вычислить значения частных производных $`A=z''_{xx}(M_0)`$, $`B=z''_{xy}(M_0)`$, $`C=z''_{yy}(M_0)`$ в стационарных точках из п. 2. Найти значение: 
```math
\Delta = 
\left|
	\begin{matrix}
	A\ B \\
	B\ C
	\end{matrix} 
\right|
= AC-B^2
```
Если $\Delta>0$ и $A>0$, то в точке $M_0$ минимум. Если $\Delta>0$ и $A<0$, то в точке $M_0$ максимум. Если $\Delta<0$, то экстремумов нет.  
5. Найти значения функции в точках минимума и максимума
  
Пример: исследовать на экстремумы функцию $z=x^2+xy+y^2-6x-9y$  
1. $z'_x=2x+y-6$  
	$z'_y=x+2y-9$
2. 
```math
\begin{cases}
    2x+y-6 = 0 \\
    x+2y-9 = 0
\end{cases}
```

```math
\begin{cases}
    y = 6-2x \\
    x+2y-9 = 0
\end{cases}
```
$x+2(6-2x)-9=0$  
$x+12-4x-9=0$  
$-3x=-3$  
$x=1$  
$y=6-2$  
$y=4$  
$M_0(1;4)$ - стационарная точка  
3. $`z''_{xx}=(2x+y-6)'_x=2`$  
	$`z''_{xy}=(2x+y-6)'_y=1`$  
	$`z''_{yy}=(x+2y-9)'_y=2`$  
4. $`A=z''_{xx}(1;4)=2`$  
	$`B=z''_{xy}(1;4)=1`$  
	$`C=z''_{yy}(1;4)=2`$  
	$\Delta=AC-B^2=4-1=3$  
	$\Delta=3>0$, $A=2>0$, следовательно, в точке $M_0(1;4)$ функция имеет минимум  
5. $z_{min}=z(1;4)=1+4+16-6-36=-21$
