## Определенные интегралы
Пусть на $[a; b]$ задана функция $y=f(x)$. Разобъем отрезок $[a;b]$ на $n$ частей точками $x_0<x_1<x_2<x_3<...<x_n$. На каждом отрезке выберем произвольную точку $\xi_i$. Обозначим $\Delta x_i=x_i-x_{i-1}$. Сумма вида $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} f(\xi_i)\Delta x_i$ называется **интегральной суммой** для функции $y=f(x)$ на $[a; b]$.  
Пусть предел суммы при максимальном $\Delta x_i$, стремящимся к нулю, существует, конечен и не зависит от способа выбора точек $x_0, x_1, ..., x_n$. Тогда этот предел называется **определенным интегралом** от функции $y=f(x)$ на $[a;b]$ и обозначается $\int\limits_{a}^{b} f(x)dx$ ($a$, $b$ - нижний и верхний пределы интегрирования).  
Геометрический смысл: численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной снизу осью $x$, слева и справа прямыми $x=a$, $x=b$ и сверху графиком положительной функции $f(x)$.  
![Геометрический смысл определенного интеграла](../Pictures/06_01.%20Геометрический%20смысл%20определенного%20интеграла.png)  
#### Свойства определенных интегралов
1) $\int\limits_a^b{kf(x)dx}=k\int\limits_a^b{f(x)dx}$ ($k$ - $const$)
2) $\int\limits_a^b({f(x)}\pm{g(x)})dx=\int\limits_a^b{f(x)dx}\pm\int\limits_a^b{g(x)dx}$
3) $\int\limits_a^b f(x)dx=\int\limits_a^c f(x)dx+\int\limits_c^b f(x)dx$, $c \in [a;b]$
4) $\int\limits_a^b f(x)dx=-\int\limits_b^a f(x)dx$
#### Методы вычисления определенных интегралов
1) Формула Ньютона-Лейбница  
	$\int\limits_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)$  
	Пример: $\int\limits_0^1 x^2dx=\frac{x^3}{3}|^1_0=\frac{1}{3}-0=\frac{1}{3}$  
2) Метод замены переменной  
	В отличие от неопределенных интегралов, в определенных нужно перейти к новым пределам интегрирования  
	Пример:  
```math
\int\limits_{-1}^0 \frac{2x^2dx}{(x^3+2)^4} = 
\left|
	\begin{matrix}
	t = x^3 + 2 \\
	dt = (x^3+2)'dx=3x^2dx = x^2dx = \frac{dt}{3}
	\end{matrix} 
\right|
= \int\limits_1^2\frac{2\frac{dt}{3}}{t^4}=\frac{2}{3}\int\limits_1^2 t^{-4}dt=\frac{2}{3}*\frac{t^{-3}}{3}|^2_1=-\frac{2}{9t^3}|^2_1=-\frac{2}{72}+\frac{2}{9}=\frac{14}{72}=\frac{7}{36}
```
3) Интегрирование по частям  
	$\int\limits_a^b udV=uV|^b_a-\int\limits_a^b Vdu$  
	Пример:  
```math
\int\limits_{0}^2 (2x+1)e^dx = 
\left|
	\begin{matrix}
	u = 2x + 1 \\
	dV = e^x
	\end{matrix} 
\right|
\left|
	\begin{matrix}
	du = (2x + 1)'dx = 2 \\
	V = \int e^xdx = e^x
	\end{matrix} 
\right|
= (2x+1)e^x|^2_0-\int_0^2 2e^x = 5e^2-1-2e^x|^2_0 = 5e^2-1-2e^2+2=5e^2+1
```
## Несобственные интегралы
Рассмотрим определенные интегралы от непрерывных функций, но с бесконечными пределами интегрирования или определенные интегралы с конечными пределами интегрирования, но от функций, имеющих бесконечный разрыв. Такие интегралы называются **несобственными**. 
#### Несобственный интеграл I рода
Пусть функция $y=f(x)$ непрерывна на промежутке $(-\infty; V)$. Тогда, если существует конечный предел $\lim\limits_{a \to \infty} f(x)dx$, то он называется **несобственным интегралом I рода** и обозначается $\int\limits_{-\infty}^b f(x)dx$  
- $\int\limits_{-\infty}^b f(x)dx=\lim\limits_{a \to \infty}\int\limits_a^b f(x)dx$  
	![Несобственный интеграл I рода при пределе минус бесконечность](../Pictures/06_02.%20Несобственный%20интеграл%20I%20рода%20при%20пределе%20минус%20бесконечность.png)
-   $\int\limits_a^{+\infty} f(x)dx=\lim\limits_{b \to \infty}\int\limits_a^b f(x)dx$  
	![Несобственный интеграл I рода при пределе плюс бесконечность](../Pictures/06_03.%20Несобственный%20интеграл%20I%20рода%20при%20пределе%20плюс%20бесконечность.png)
- $\int\limits_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx=\int\limits_{-\infty}^c f(x)dx+\int\limits_c^{+\infty} f(x)dx$  
	![Несобственный интеграл I рода при пределах минус и плюс бесконечность](../Pictures/06_04.%20Несобственный%20интеграл%20I%20рода%20при%20пределах%20минус%20и%20плюс%20бесконечность.png)
#### Несобственный интеграл II рода
Пусть функция $y=f(x)$ непрерывна на промежутке $(a; b]$ и имеет бесконечный разрыв в точке $x=a$. Тогда, если существует конечный предел $\lim\limits_{\varepsilon \to 0^+} \int\limits_{a+\varepsilon}^b f(x)dx$, то он называется **несобственным интегралом II рода** и обозначается $\int\limits_a^b f(x)dx$  
- $\int\limits_a^b f(x)dx=\lim\limits_{\varepsilon \to 0^+}\int\limits_{a+\varepsilon}^b f(x)dx$  
	![Несобственный интеграл II рода, a не входит](../Pictures/06_05.%20Несобственный%20интеграл%20II%20рода,%20a%20не%20входит.png)
- $\int\limits_a^b f(x)dx=\lim\limits_{\varepsilon \to 0^+}\int\limits_a^{b-\varepsilon} f(x)dx$  
	![Несобственный интеграл II рода, b не входит](../Pictures/06_06.%20Несобственный%20интеграл%20II%20рода,%20b%20не%20входит.png)
- $\int\limits_a^b f(x)dx=\int\limits_a^c f(x)dx+\int\limits_c^b f(x)dx$  
	![Несобственный интеграл II рода, a и b не входят](../Pictures/06_07.%20Несобственный%20интеграл%20II%20рода,%20a%20и%20b%20не%20входят.png)
- $\int\limits_a^b f(x)dx=\int\limits_a^c f(x)dx+\int\limits_c^b f(x)dx$  
	![Несобственный интеграл II рода, c не входит](../Pictures/06_08.%20Несобственный%20интеграл%20II%20рода,%20c%20не%20входит.png)