**Дифференциальным уравнением (ДУ)** называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию, её производную (или дифференциал аргумента) и дифференциал функции.  
ДУ называется **обыкновенным**, если искомая функция зависит только от одной переменной.  
**Порядком ДУ** называется наивысший порядок производной, входящей в уравнение.  
**Решением ДУ** называется такая дифференцируемая функция $`y=\varphi(x)`$, которая при подстановке в ДУ обращает его в верное тождество.  
## Дифференциальные уравнения I порядка
Если ДУ содержит производную или дифференциал функции не выше I порядка, то ДУ называется **уравнением I порядка**.  
Обозначение: $F(x,y,y')$ или $y'=f(x;y)$  
**Общим решением ДУ (ОРДУ)** I порядка $y'=f(x;y)$ называется функция $y=\varphi(x,C)$, обладающая свойствами:
1) Она является решением ДУ при любых значениях $C$
2) Для любого начального условия $(x_0;y_0)$ существует единственное значение $C=C_0$, при котором решение $y=\varphi(x,C_0)$ удовлетворяет заданному начальному условию
  
Всякое решение $y=\varphi(x,C_0)$, получающееся из ОРДУ, называется **частным решением ДУ (ЧРДУ)** I порядка.  
Задача нахождения ЧРДУ $y'=f(x;y)$, удовлетворяющая начальному условию $y(x_0)=y_0$, называется **задачей Коши**.  
Пример: проверить, является ли функция $y=3x^4-2x+C$ решением ДУ $y'-12x^3+2=0$  
Найдем $y'$:  
$y'=12x^3-2$  
Подставляем $y'$ в ДУ:  
$12x^3-2-12x^3+2=0$  
$0=0$  
Значит, функция $y$ является решением ДУ  
Пример: функция $y=3x^4-2x+C$ является ОРДУ $y'=12x^3-2$. Найти ЧРДУ, если $y(1)=-2$  
$-2=3-2+C$  
$C=-3$  
Подставим $C=-3$:  
$y=3x^4-2x-3$ - ЧРДУ
### Виды ДУ I порядка
#### ДУ I порядка с разделенными переменными
**ДУ I порядка с разделенными переменными** - это ДУ вида $g(y)dy=f(x)dx$  
Для решения таких ДУ интегрируем отдельно левую и правую части.  
Пример: найти ОРДУ  
$ydy=x^2dx$  
$\int ydy=\int x^2dx$  
$\frac{y^2}{2}=\frac{x^3}{3}+C$ - ОРДУ  
Пример: найти ЧРДУ  
$(y^2+1)dy=\cos{x}dx$, $y(0)=1$  
$\int(y^2+1)dy=\int\cos{x}dx$  
$\frac{y^3}{3}+y=\sin{x}+C$ - ОРДУ  
$x=0$, $y=1$  
$\frac{1}{3}+1=0+C$  
$C=\frac{4}{3}$  
$\frac{y^3}{3}+y=\sin{x}+\frac{4}{3}$ - ЧРДУ  
#### ДУ I порядка с разделяющимися переменными
**ДУ I порядка с разделяющимися переменными** называется уравнение вида $g(y)F(x)dy=f(x)G(y)dx$  
Для решения таких ДУ обе части уравнения делим на $F(x)\cdot G(y)$ и приводим к предыдущему виду  
Пример: найти ОРДУ  
$x^2dy+ydx=0$  
$x^2dy=-ydx\ \ |:x^2y$  
$\frac{dy}{y}=-\frac{dx}{x^2}$  
$\int\frac{dy}{y}=\int-\frac{dx}{x^2}$  
$\ln{|y|}=-\frac{x^{-1}}{-1}+C$  
$\ln{|y|}=\frac{1}{x}+C$ - ОРДУ
#### Линейные ДУ I порядка
**Линейным ДУ I порядка** называется ДУ вида $y'+p(x)y=q(x)$, где $p(x)$ и $q(x)$ - функции, зависящие от $x$ или числа.  
Алгоритм решения линейного ДУ:
1) Привести уравнение к виду $y'+p(x)y=q(x)$
2) Сделать замену $y=uV$, $y'=u'V+uV'$. Подставить эти выражения в ДУ
3) В левой части сгруппировать второе и третье слагаемые, вынести за скобки $u$
4) Составить систему ДУ  
```math
\begin{cases}
    V'+p(x)V=0 \\
    u'V=q(x)
\end{cases}
```
Из первого ДУ найти $V$, подставить во второе и выразить $u$
5) Подставить $u$ и $V$ в выражение $y=uV$
  
Пример: найти ОРДУ  
$y'=\frac{3y}{x}=x$  
$p(x)=-\frac{3}{x}$  
$q(x)=x$  
Пусть $y=uV$, тогда $y'=u'V+uV'$:  
$u'V+uV'-\frac{3uV}{x}=x$  
$u'V+u(V'-\frac{3V}{x})=x$  
```math
\begin{cases}
    V'-\frac{3V}{x}=0 \\
    u'V=x
\end{cases}
```
$V'-\frac{3V}{x}=0$  
$V'=\frac{3V}{x}$  
$\frac{dV}{dx}=\frac{3V}{x}\ \ |\cdot\frac{dx}{V}$  
$\frac{dV}{dx}\cdot\frac{dx}{V}=\frac{3V}{x}\cdot\frac{dx}{V}$  
$\frac{dV}{V}=\frac{3dx}{x}$  
$\int\frac{dV}{V}=3\int\frac{dx}{x}$  
$\ln{|V|}=3\ln(|x|)$  
$V=3x$  
$u'V=x$  
$u'x^3=x\ \ |:x^3$  
$u'=\frac{1}{x^2}$  
$u=\int\frac{1}{x^2}dx=\int x^{-2}dx=\frac{x^{-1}}{-1}+C=-\frac{1}{x}+C$  
$y=uV=x^3(-\frac{1}{x}+C)$ - ОРДУ
#### Однородные ДУ I порядка
Функция $f(x,y)$ называется **однородной функцией измерения $m$** если при любом $k$ имеет место тождество $f(kx,ky)=k^mf(x,y)$  
ДУ I порядка вида $P(x,y)dy+Q(x,y)dy=0$ называется **однородным**, если $P(x,y)$ и $Q(x,y)$ - однородные функции одинакового измерения.  
Однородное ДУ может быть приведено к виду $y'=f(\frac{y}{x})$. Для решения таких ДУ вводим новую переменную $t=\frac{y}{x}$  
Пример: найти ОРДУ  
$yxy'=y^2+2x^2\ \ |:yx$  
$y'=\frac{y}{x}+\frac{2x}{y}$  
$t=\frac{y}{x}$  
$y'=t+\frac{2}{t}$  
$y'=t'x+t$  
$t'x+t=t+\frac{2}{t}$  
$t'x=\frac{2}{t}$  
$t'$ заменим на $\frac{dt}{dx}$  
$x\frac{dt}{dx}=\frac{2}{t} \ \ |\cdot\frac{tdx}{x}$  
$x\frac{dt}{dx}\cdot\frac{tdx}{x}=\frac{2}{t}\cdot\frac{tdx}{x}$  
$tdt=\frac{2dx}{x}$  
$\int tdt=\int\frac{2dx}{x}$  
$\frac{t^2}{2}=2\ln{|x|}+C$ - ОРДУ
## Дифференциальные уравнения II порядка
Если ДУ содержит производную или дифференциал функции не выше II порядка, то оно называется **ДУ II порядка** и обозначается $F(x,y,y',y'')=0$ или $y''=f(x,y,y')$  
**ОРДУ II порядка** называется функция вида $y=\varphi(x,C_1,C_2)$, обладающая свойствами:
1) Она является решением ДУ при любых значениях $C_1$, $C_2$
2) Для любых начальных условий $y(x_0)=y_0$ и $y'(x_0)=y'_0$  существует единственное значение $C_1=C_1^0$ и $C_2=C_2^0$, при которых решение $y=\varphi(x,C_1,C_2)$ удовлетворяет заданному начальному условию
  
Всякое решение $y=\varphi(x,C_1,C_2)$, получающееся из ОРДУ путём подстановки начальных условий $C_1=C_1^0$ и $C_2=C_2^0$ называется **ЧРДУ**.  
Задача, в которой требуется найти ЧРДУ, называется **задачей Коши**.  
### Виды ДУ II порядка
#### ДУ вида $y''=f(x)$
Для решения таких ДУ 2 раза интегрируем правую часть.  
$y''=f(x)$  
$y'=\int f(x)dx=f_1(x)+C_1$  
$y=\int (f_1(x)+C_1)dx=f_2(x)+C_1x+C_2$  
Пример: найти ОРДУ  
$y''=2x-3$  
$y'=\int (2x-3)dx=2\frac{x^2}{2}=3x+C_1=x^2-3x+C_1$  
$y=\int (x^2-x+C_1)dx=\frac{x^3}{3}-3\frac{x^2}{2}+C_1x+C_2=\frac{1}{3}x^3-\frac{3}{2}x^2+C_1x+C_2$  
$y=\frac{1}{3}x^3-\frac{3}{2}x^2+C_1x+C_2$ - ОРДУ
#### ДУ вида $y''=f(x,y')$
Для решения таких ДУ делаем замену: $z=y'$, $z'=y''$  
Пример: найти ОРДУ  
$y''-\frac{y'}{x}=0$  
$z=y'$  
$z'-\frac{z}{x}=0$  
$z'=\frac{z}{x}$  
$\frac{dz}{dx}=\frac{z}{x}\ \ |\cdot\frac{dx}{z}$  
$\frac{dz}{dx}\cdot\frac{dx}{z}=\frac{z}{x}\cdot\frac{dx}{z}$  
$\frac{dz}{z}=\frac{dx}{x}$  
$\int\frac{dz}{z}=\int\frac{dx}{x}$  
$\ln{|z|}=\ln{|x|}+\ln{|C_1|}$  
$\ln{|z|}=\ln{|C_1x|}$  
$z=C_1x$  
$y'=C_1x$  
$y=\int C_1xdx=\frac{C_1}{x}x^2+C_2$  
$y=\frac{C_1}{2}x^2+C_2$ - ОРДУ
#### Линейные однородные ДУ с постоянными коэффициентами
Уравнение вида $y''+py'+qy=0$, где $y$ - искомая функция, $p$ и $q$ - действительные числа, называется **линейным однородным дифференциалом** II порядка с постоянными коэффициентами.  
Для нахождения общего решения линейного однородного ДУ с постоянными коэффициентами составляется квадратное уравнение $k^2+pk+q=0$, которое получается из уравнения $y''+py'+qy=0$ заменой: $y''=k^2$, $y'=k$, $y=1$  
Уравнение вида $k^2+pk+q=0$ называется **характеристическим уравнением** линейного однородного ДУ с постоянными коэффициентами.  
Алгоритм решения линейного однородного ДУ с постоянными коэффициентами:
1) Составить характеристическое уравнение, соответствующее данному однородному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами: $k^2+pk+q=0$
2) Найти корни характеристического уравнения
3) Используя таблицу, записать общее решение линейного однородного ДУ с постоянными коэффициентами
  
| Дискриминант | Корни уравнения                                                    | Общее решение                                       |
| ------------ | ------------------------------------------------------------------ | --------------------------------------------------- |
| $D>0$        | Действительные различные: $k_1\neq k_2$                            | $y=C_1e^{k_1x}+C_2e^{k_2x}$                         |
| $D=0$        | Действительные равные: $k_1=k_2=k$                                 | $y=C_1e^{kx}+C_2xe^{kx}$                            |
| $D<0$        | Комплексно-сопряженные: $k_1=\alpha-\beta i$, $k_2=\alpha+\beta i$ | $y=e^{\alpha x}(C_1\cos{\beta x}+C_2\sin{\beta x})$ |
