Пусть даны 2 непустых множества $X$, $Y$.  
Соответствие $f$, которое каждому элементу $x \in X$ сопоставляет один и только один элемент $y \in Y$, называется **функцией** и обозначается $y=f(x),\ x \in X$ или $f:\ X \rightarrow Y$.  
Множество $X$ называется **областью определения функции** $f$ и обозначается $D(f)$.  
Множество $Y$ называется **множеством значений функции** $f$ и обозначается $E(f)$.  
Если элементами множеств $X$ и $Y$ являются действительные числа, то функцию $f$ называют **числовой функцией**.  
$x$ - аргумент или независимая переменная.  
$y$ - функция или зависимая переменная.  
**Частное значение функции** $f(x)$ при $x=a$ записывают $f(a)$.  
Примеры:  
1) Найти частное значение функции $y(x)=\sqrt{2x^2+6x-4}$ для $y(1)$ и $y(-1)$.
  
$y(1)=\sqrt{2∗1^2+6∗1-4}=\sqrt{4}=2$  
$y(-1)=\sqrt{2∗(-1)^2+6∗(-1)-4}=\sqrt{-8}$ - не существует
2) Найти область определения функции $\frac{1}{x^2-5x+6}$
  
$x^2-5x+6≠0$  
$D=25-4∗6=1$  
$x_1=\frac{5+1}{2}=3$  
$x_2=\frac{5-1}{2}=2$  
$D(y): x \in (-\infty;2)\cup(2;3)\cup(3;+\infty)$  
3) Найти область определения функции $y=\sqrt{x^2+4x+4}$
  
$x^2+4x+4\geq0$  
$(x+2)^2\geq0$ - всегда  
$D(y): x \in R$ или $x \in (-\infty;+\infty)$
4) Найти область определения функции $\frac{x+1}{\sqrt{3x-9}}$
  
$3x-9>0$  
$x>3$  
$D(y): x \in (3; +\infty)$  
**Графиком функции** $y=f(x)$ называется множество всех точек плоскости $xOy$, для каждой из которых $x$ является значением аргумента, а $y$ - соответствующим значением функции.  
Чтобы задать функцию, необходимо указать правило, позволяющее по известному значению $x$ найти соответствующее значение $y$.  
## Способы задания функции
1. **Аналитический** - функция задается одним или несколькими уравнениями. Является наиболее совершенным
2. **Графический** - задается график функции. Значения функции $y=f(x)$, соответствующие тем или иным значениям аргумента $x$, непосредственно находятся по графику. Нагляден, но неточен
3. **Табличный** - функция задается таблицей ряда значений аргументов и соответствующих значений функции (тригонометрические и логарифмические функции, эксперименты)
## Свойства функции
#### Четность
Функция $y=f(x)$, определенная на множестве $X$, называется **четной**, если для любого $x \in X$ выполняется условие $y(-x)=y(x)$.  
Функция $y=f(x)$, определенная на множестве $X$, называется **нечетной**, если для любого $x \in X$ выполняется условие $y(-x)=-y(x)$.  
График четной функции симметричен относительно оси $Oy$, график нечетной - относительно начала координат.  
Если функция не является ни четной, ни нечетной - это **функция общего вида**.  
Примеры:  
1) Определить четность функции $y=2x^3-3x$
  
$y(-x)=2(-x)^3-3(-x)=-2x^3+3x=-(2x^3-3x)=-y(x)$, значит функция нечетная
2) Определить четность функции $y=\frac{x}{x^2+5}$
  
$y(-x)=\frac{-x}{(-x)^2+5}=y=-\frac{x}{x^2+5}=y(-x)$, значит функция нечетная
3) Определить четность функции $y=\frac{x^4+2}{3-x^2}$
  
$y(x)=\frac{(-x)^4+2}{3-(-x)^2} = \frac{x^4+2}{3-x^2} = y(x)$, значит функция четная
#### Монотонность
Функция $y=f(x)$, определенная на промежутке $X$, называется **возрастающей** на данном промежутке, если для любых значений $x_1, x_2 \in X$, таких, что $x_1<x_2$ выполняется неравенство $f(x_1)<f(x_2)$.  
Функция $y=f(x)$, определенная на промежутке $X$, называется **убывающей** на данном промежутке, если для любых значений $x_1, x_2 \in X$, таких, что $x_1<x_2$ выполняется неравенство $f(x_1)>f(x_2)$.  
Возрастающие и убывающие функции называются **монотонными**, а промежутки, где функция монотонно, называются **интервалами монотонности**.  
#### Ограниченность
Функцию $y=f(x)$, определенную на множестве $X$, называют **ограниченной** на этом множестве, если существует такое число $M>0$, что для всех $x \in X$ выполняется неравенство $|f(x)|\leq M$.  
#### Периодичность
Функция $y=f(x)$, определенная на множестве $X$, называется **периодической**, если существует такое число $T>0$, что при каждом $x \in X$ значение $(x+T) \in X$ и $f(x+T) \in f(x)$. При этом число $T$ называют **периодом функции**.
#### Обратные функции
Пусть задана функция $y=f(x)$ с областью определения $D(f)$ и множеством значений $E(f)$. Если каждому значению $y \in E(f)$ соответствует единственное значение $x \in D(f)$, то определена функция $x=φ(y)$ с областью определения $E(f)$ и множеством значений $D(f)$, которая называется **обратной функцией** к функции $y=f(x)$ и записывается в виде $x=φ(y)=f^{-1}(y)$.  
Функции $y=f(x)$ и $x=φ(y)$ называются **взаимно обратными**, а их графики симметричны относительно биссектрисы I и III координатных углов.  
Любая монотонная функция имеет обратную функцию.
## Основные функции и их графики
1) Показательная функция $y=a^x$ ($a>0$, $a\neq1$)
	- $a>1$  
		![Возрастающая показательная функция](../Pictures/01_01.%20Возрастающая%20показательная%20функция.png)
	- $0<a<1$  
		![Убывающая показательная функция](../Pictures/01_02.%20Убывающая%20показательная%20функция.png)
2) Логарифмическая функция $y=\log{_ax}$ ($a>0$, $a\neq1$)
	- $a>1$  
		![Возрастающая логарифмическая функция](../Pictures/01_03.%20Возрастающая%20логарифмическая%20функция.png)
	- $0<a<1$  
		![Убывающая логарифмическая функция](../Pictures/01_04.%20Убывающая%20логарифмическая%20функция.png)
3) Степенная функция $y=x^n$
	- $n=1$  
		![Степенная функция, прямая](../Pictures/01_05.%20Степенная%20функция,%20прямая.png)
	- $n>0$, $n$ - четное  
		![Степенная функция, парабола](../Pictures/01_06.%20Степенная%20функция,%20парабола.png)
	- $n>1$, $n$ - нечетное  
		![Степенная функция, кубическая парабола](../Pictures/01_07.%20Степенная%20функция,%20кубическая%20парабола.png)
	- $n<0$, $n$ - нечетное  
		![Степенная функция, нечетная гипербола](../Pictures/01_08.%20Степенная%20функция,%20нечетная%20гипербола.png)
	- $n<0$, $n$ - четное  
		![Степенная функция, четная гипербола](../Pictures/01_09.%20Степенная%20функция,%20четная%20гипербола.png)
	- $n$ - дробь, $n$ - четное  
		![Степенная функция, ветвь параболы](../Pictures/01_10.%20Степенная%20функция,%20ветвь%20параболы.png)
	- $n$ - дробь, $n$ - нечетное  
		![Степенная функция, ветвь кубической параболы](../Pictures/01_11.%20Степенная%20функция,%20ветвь%20кубической%20параболы.png)
4) Тригонометрические функции
	- $y=\sin{x}$
		![Синусоида](../Pictures/01_12.%20Синусоида.png)
	- $y=\cos{x}$  
		![Косинусоида](../Pictures/01_13.%20Косинусоида.png)
	- $y=tg\ x$  
		![Тангенсоида](../Pictures/01_14.%20Тангенсоида.png)
	- $y=ctg\ x$  
		![Котангенсоида](../Pictures/01_15.%20Котангенсоида.png)
5) Обратные тригонометрические функции
	- $arcsin\ x$  
		![Арксинусоида](../Pictures/01_16.%20Арксинусоида.png)
	- $arccos\ x$  
		![Арккосинусоида](../Pictures/01_17.%20Арккосинусоида.png)
	- $arctg\ x$  
		![Аркангенсоида](../Pictures/01_18.%20Арктангенсоида.png)
	- $arcctg\ x$  
		![Арккоангенсоида](../Pictures/01_19.%20Арккотангенсоида.png)